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besoin d aide, matrices...svp

Posté par tipiou81986 (invité) 19-03-05 à 15:29

Coucou? pourriez vous m'aider ?

Soit A une matrice carrée d'ordre n telle que A² = A et A différent de I. Montrer que A n'est pas inversible.
Trouver toutes les matrices carrées d'ordre 2 autre que I et 0 telles que A² = A.
Que peut on dire de leur ligne et de leur colonne ?

Soit N une matrice carrée. On dit que N est nilpotente s'il existe p appartenant N (N est un ensemble) tel que N puissance p = 0.
Montrer que si N est nilpotente, I - N est inversible.

Voila, merci d'avance.
A+
Aurélie

Posté par tipiou81986 (invité)re : besoin d aide, matrices...svp 20-03-05 à 15:23

personne ne peut m'aider ??
Merci

Posté par re : besoin d aide, matrices...svp 20-03-05 à 20:42

bonsoir Aurélie

$A^2=A \Longleftrightarrow A^2-A=0 \Longleftrightarrow A(A-I)=0$

Or $A-I\neq 0$ donc $A$ non inversible (sinon en multipliant à gauche par A^{-1} on aurait $A-I = 0$ )

En dimension 2 ${\rm A non inversible } \Longleftrightarrow \dim {\mathcal Im}(A)\le 1$
Comme $A\neq 0$ , $\dim {\mathcal Im}(A)= 1$
Les 2 colonnes de A sont dans ${\mathcal Im}(A)$ et sont donc promortionnelles.

Même chose pour les lignes.

$\array{ccl$(I-N)(I+N+N^2+\cdots+N^{p-1}) & = & I+N+N^2+\cdots+N^{p-1}-(N+N^2+N^3\cdots+N^{p}) \\ & = & I-N^p \\ & = & I}$

Posté par tipiou81986 (invité)re : besoin d aide, matrices...svp 21-03-05 à 07:36

Merci beaucoup Franz de ton aide, je trouve que ce n'est pas facile les démonstrations sur les matrices...
Bonne journée
A+
Aurélie

Posté par tipiou81986 (invité)re : besoin d aide, matrices...svp 21-03-05 à 16:31

coucou,
je ne comprends pas trop ce que tu as fait pour I-N. Tu purrais m'expliquer ?
Merci d'avance
A+
Aurélie

Posté par re : besoin d aide, matrices...svp 21-03-05 à 20:09

J'ai juste développé par rapport à $I$ puis par rapport à $N$ puis me suis servi du fait que $N^p=0$

$\array{ccl$(I-N)(I+N+N^2+\cdots+N^{p-1}) & = & (I+N+N^2+\cdots+N^{p-1})-N(I+N+N^2+\cdots+N^{p-1})%20\\ & = & I+N+N^2+\cdots+N^{p-1}-(N+N^2+N^3\cdots+N^{p}) \\ & = & I-N^p%20\\%20&%20=%20&%20I}$

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