Quelqu'un pourrait-il m'aider SVP ?

Personne ne peut m'aider ?

Bon, je donne l'énoncé complet :

Soit les points A(1) A'(-1) B(i) B'(-i).
A tous point M(z), distinct du O, A, A', B, B', on associe les points M1(z1) et M2(z2), tq les triangles BMM1 et AMM2 soient rectangles et isocèles avec :

(M1 B ; M1 M) = (M2 M ; M2 A) = /2 (2)

(je précise que M1 B et le reste sont des vecteurs, mais je ne sais pas comment les faires).

La figure est sur ma feuille, avec les triangles vert et rouge.

1)a) Mq : z - z1 = i(i - z1)    et    1 - z2 = i(z - z2)

1)b) j'ai réussi à la faire.

2) On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle OM1M2 est équilatéral.

a) Mq OM1 = OM2 <=> |z+1| = |z+i|
    En déduire l'ensemble () des points M tels que 0M1 = OM2 et tracer () sur la figure.

b) Mq OM1 = M1M2 <=> |z+1|² = Z|z|²
    En déduire analytiquement l'ensemble () des points M du plan pour lesquels OM1 = M1M2 et tracer () sur la figure.

c) Déduire de l'étude précédente qu' deux points M pours lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral et placer ces points sur la figure.

Voilà, et bien je n'arrive rien à faire (sauf la question 1)b) ^^

Alors quelqu'un pourrait-il m'aider en me donnant des pistes pour démarrer SVP ?

En vous remerciant.

re(salut)
pour la 1)
ca decoule du fait que
"les triangles BMM1 et AMM2 soient rectangles et isocèles".

donc M est l'image de B par la rotation de centre M1 et d'angle Pi/2

autre facons BMM1 isocele en M1. donc M1B=M1M donc |i-z1|=|z-z1|

donc il existe a dans C de module 1 tel que a*(i-z1)=(z-z1)

i-z1 different de 0 car sinon i=z1 donc B=M1 et donc z-z1=0 et donc M=M1 ce qui fait B=M=M1 ce qui ne peut etre d'apres l'enonce.

(z-z1)/(i-z1)=a
Arg(z-z1)-Arg(i-z1)=Arg(a) [2Pi] = angle(M1B,M1B)=Pi/2

donc a=exp(iPI/2)=i
donc i*(i-z1)=(z-z1)

idem pour l'autre egalite.

2a)OM1 = OM2
donc |z1|=|z2|

or  z - z1 = i(i - z1)  donc z1*(1-i)=z+1 donc z1=(z+1)/(1-i)
donc |z1|=|z+1|/|1-i|

et  1 - z2 = i(z - z2)  donc z2(i-1)=i*z-1 donc z2=i*(z+i)(i-1)
donc |z2|=|z+i|/|i-1|
on a |z1|=|z2| et |i-1|=|1-i| donc |z+1|=|z+i|

reciproquement si |z+1|=|z+i| comme  z1=(z+1)/(1-i) et  z2=i*(z+i)(i-1) on a |z1|=|z2| et donc OM1=OM2

|z+1|=MA'
|z+i|=MB' chercher les points M tel que OM1 = OM2 c'est chercher les points M tel que MA'=MB' donc c'est la mediatrice de [A'B']

b) qu'est ce que Z ?

c) d'apres a ) et b)  M est sur gamma et sur delta.
l'intersection de ces 2 ensembles donnent 2 points.
(je ne serais pas etonne que gamma soit un cercle)

Oups, pardon, ce n'est pas grand Z, mais 2 : 2|z|²

Euh, pour tout ce que vous m'avez dis, j'ai à peu près suivit. Je recopierais tout ça demain et essayerais de bien comprendre, pour être OP pour mon contrôle de Samedi (4h, pfiouuu !!!).

Il faut vraiment que je reprenne la leçon sur les complexes, et encore plus sur les similitudes (oulala ^^).

Merci beaucoup de votre aide.

Je posterais ici demain si je ne comprend pas votre raisonnement ^^

Merci encore.

Bonne soirée.

PS : juste un petit hors sujet : quel est votre niveau d'étude, vous êtes en quoi ?

pour la b ce doit etre
Mq OM1 = M1M2 <=> |z+1|² = 2|z|² non ?

OM1=|z1|=|z+1|/|1-i|

M1M2=|z2-z1|

comme z1=(z+1)/(1-i) et z2=i*(z+i)/(i-1)

z2-z1=[i*(z+i)+z+1]/(i-1)=z*(i+1)/(i-1)

donc |z2-z1|=|z|*|i+1|/|i-1|

comme OM1=M1M2 on a |z|*|i+1|=|z+1|

|i+1|=V2 donc |i+1|²=2
d'ou le resultat.
reciproquement si |z+1|²=2|z|² alors
|z+1|²=|z|²*|i+1|²
donc
|z+1|=|z|*|i+1|
donc |z+1|/|i-1|=|z|*|i+1|/|i-1|
donc |z2-z1|=|z1|
donc M1M2=OM1

on cherche ensuite M tel que |z+1|² = 2*|z|²
et ceci est le cercle de centre A et de rayon V2.
non ?

Euh euh ... attendez là, ça va trop vite pour mon petit cerveau là ^^

Euh, en fait, je verrais tout ça demain, car demain je commence tôt et suis fatigué ^^

Merci encore de votre aide.

Bonne soirée.

on cherche ensuite M tel que |z+1|² = 2*|z|²
et ceci est le cercle de centre A et de rayon V2.


je suis parti de fait que M d'affixe z=x+i*y (x,y) dans R²

|z+1|² = 2*|z|² <=> (x+1)²+y²=2*(x²+y²) <=> x²-2x-1+y²=0 <=> x²-2x+1+y²=2 <=> (x-1)²+y²=2=(V2)²

et ceci est l'equation du cercle de centre A et de rayon V2.


ce qui confirme mon intuition pour gamma.
pour la c) on cherchera les points d'intersection de la droite delta et du cercle gamma.

une equation de delta doit etre y=x.

on le voit d'ailleurs par
|z+1| = |z+i|
donc (x+1)²+y²=x²+(y+1)²
donc 2x=2y donc x=y

il ne reste plus qu'a resoudre le systeme :

(x-1)²+y²=2
y=x

systeme qui ne devrait pas poser de probleme.

Bonsoir.

Tout d'abord, encore merci de votre aide.

Donc je viens de lire une partie seulement de ce que vous m'avez écrit (car je me prend la tête dessus pour comprendre ^^) et j'en viens à plusieurs questions (juste sur la question 1)a) et 2)a) car je n'ai pas pu encore voir les autres ^^) :

1)a) Je n'ai pas trop compris votre démarche.
autre facons BMM1 isocele en M1. donc M1B=M1M donc |i-z1|=|z-z1| => OK
donc il existe a dans C de module 1 tel que a*(i-z1)=(z-z1) => là j'ai moyennement compris.

Je suis d'accord qu'il existe un a dans C tq

|a|=1
En gros, on a :
r : BM
r : MA
tq r=rot(M1,PI/2)

et tq a=eⁱ (car rotation).

C'est bien ça ?

2)a)OM1 = OM2
donc |z1|=|z2|

or  z - z1 = i(i - z1)  donc z1*(1-i)=z+1 donc z1=(z+1)/(1-i)
donc |z1|=|z+1|/|1-i|

On peut passer des modules au valeurs de vecteurs comme ça ?


z2(i-1)=i*z-1 donc z2=i*(z+i)/(i-1) donc |z2|=|z+i|/|i-1|

=> car |-i| = 1, c'est comme ça que vous faites ?


Pour l'ensemble des points, j'ai fais avec [AB], c'est la même chose.


Bon voilà, pour le moment ce que je viens d'écrire est très confus, cependant, pouriez-vous répondre à mes quelques questions SVP ?

Bon, bah je vais travailler ça et essayer de comprendre, car je trouve ça trop terrible (j'adore faire cet exercice en gros ^^).

Je vous joindrais ma rédaction quand j'aurais eu le temps de tout traiter et de tout clarifier dans ma tête comme sur la copie ^^

Merci encore.

Bonne soirée.

Rebonsoir.

Une petite chose, pour l'équation du cercle, je n'ai pas vraiment compris. Comment peut-on savoir ça (je ne me rappelais même plus qu'il existait une équation d'un cercle, honte à moi ^^ C'est pas un truc du genre x²+y²=k ? M'enfin je ne m'en rappelle plus ^^).

Sinon, je suis toujours en train de travailler dessus, plus j'avance (grâce à votre aide), plus je trouve cet exercice intéressant (avec un tel exercice, je suis parré au BAC de maths sujet sur les complexes ^^ car ça fait une bonne révision).

Mais trêve de racontage de vie, je vais continuer à essayer de bien comprendre et vais tout remettre en forme (sous ma forme pour que je puisse comprendre ^^) : je vous écrirais ce que j'ai rédigé quand j'aurais fini.

Bonne soirée.

pour la 1 a) j'ai donne deux solutions possibles.

la premiere utilisant les rotations :

"ca decoule du fait que
"les triangles BMM1 et AMM2 soient rectangles et isocèles".

donc M est l'image de B par la rotation de centre M1 et d'angle Pi/2
"
et on arrive directement au resultat.

meme chose pour l'autre egalite.

autre solution :
...
on arrive a |i-z1|=|z-z1|

on a deux nombres complexes i-z1 et z-z1 qui sont egaux en modules.
d'apres la remarque dans un message precedent sur le fait i-z1 different de 0 et z-z1 different de 0

on peut ecrire i-z1=r*exp(i*b)
et z-z1=r'*exp(i*c)

comme ils ont meme module on a r=r'
donc z-z1=r*exp(i*c) et i-z1=r*exp(i*b)
on peut donc dire que (i-z1)*exp(-i*b)=r

donc z-z1=(i-z1)*exp(i*(c-b))

en prenant a=exp((i*c-b)), j'ai montre que si |i-z1|=|z-z1| alors il existe a dans C de module 1 tel que i-z1=a*(z-z1)  

il est vrai que si le prof ne t'a pas montre ce genre de choses il vaut mieux le demontrer.

la 2a) je ne comprends pas trop les remarques.

je suis partie d'egalite de complexes et apres j'ai pris les modules.
si deux modules sont egaux on ne peut pas dire que 2 complexes sont egaux (voir remarque message precedent avec l'histoire du a)

je reexplique :

on a OM1 = OM2

on veut montrer que |z+1|=|z+i|.

OM1=OM2

OM1=|z1| et OM2=|z2|


je pars maintenant des egalites obtenues en 1a et je les transforme.

on a z - z1 = i(i - z1)=i²-i*z1=-1-i*z1
donc z-z1=-1-i*z1
donc z+1=z1-i*z1=z1*(1-i)
z+1=z1*(1-i) donc z1=(z+1)/(1-i)
je passe aux modules :
|z1|=|z+1|/|1-i|

je prends maintenant la seconde egalite de 1a)
1 - z2 = i(z - z2) =i*z-i*z2
1-z2=i*z-i*z2
i*z2-z2=i*z-1
z2*(i-1)=i*z-1=i*z+i²=i*(z+i)
donc z2*(i-1)=i*(z+i)
donc z2=i*(z+i)/(i-1)
on passe aux modules :
donc |z2|=|z+i|/|i-1| car |i|=1

on a |z1|=|z2|

donc |z+1|/|1-i|=|z+i|/|i-1|
alors voila ce que j'ai fait ensuite :
j'ai dis que |1-i|=|i-1| donc |z+1|=|z+i| ce qui est le resultat.

on a fait une implication. il faut maintenant l'autre.
on a |z+1|=|z+i|

qui revient a |z+1|/|1-i|=|i|*|z+i|/|i-1| puisque |1-i|=|i-1| et |i|=1

comme |z+1|/|1-i|=|(z+1)/(1-i)| et |i|*|z+i|/|i-1|=|i*(z+i)/(i-1)|
on a |(z+1)/(1-i)|=|i*(z+i)/(i-1)|


on a z1=(z+1)/(1-i) et z2=i*(z+i)/(i-1) (qui viennent des egalites de 1)

donc |z1|=|z2|
or |z1|=OM1 et |z2|=OM2

donc OM1=OM2

Pour l'ensemble des points
vous dites
"j'ai fais avec [AB], c'est la même chose"

oui on trouve la meme droite mais comment faites vous ?

on a |z+1|=|z+i|

affixe de A' : -1
affixe de B' : -i

donc affixe vecteur(A'M) : z+1
affixe vecteur(B'M) : z+i

donc A'M=|z+1| et B'M=|z+i|

comme on cherche M tel que |z+1|=|z+i| on arrive a A'M=B'M

donc M est sur la mediatrice de [A'B']


pour l'equation de cercle.
soit C une figure du plan

C est le cercle de centre I(a,b) et de rayon r <=> l'equation cartesienne de C est (x-a)²+(y-b)²=r²

Bonjour.

Effectivement, en relisant mes remarques, je remarque (tient donc ^^) que celles-ci sont un peu ... étranges. Pardonnez-moi mais hier soir étant très fatigué après 3 heures de maths d'affilée (au lycée) + chez plusieurs heures chez moi, voilà quoi ^^

Néanmoins, j'ai tout de même très bien avancé hier soir (grâce à votre aide) : j'en suis à la question 2) b) à l'équation du cercle (car je vais travailler dessus pour comprendre, étant donné que je ne me rappellais même plus l'existance d'une telle chose ^^).

Je pense être capable de vous fournir ici-même ma rédaction d'ici cet après-midi.

Bon, là je dois aller en sport courir 10km ^^

Bonne journée.

Bonsoir.

J'ai presque fini, j'en suis au 2) b), et je ne comprend pas ça :

|z+1|² = 2*|z|² <=> (x+1)²+y²=2*(x²+y²) <=> x²-2x-1+y²=0 <=> x²-2x+1+y²=2 <=> (x-1)²+y²=2=(V2)²

et ceci est l'equation du cercle de centre A et de rayon V2.

Je comprend que le résultat soit le cercle de centre A(1) et de rayon V2, cependant, je n'arrive vraiment pas à comprendre comme vous passez de là à là :

|z+1|² = 2*|z|² <=> (x+1)²+y²=2*(x²+y²)

Je vois juste ça : |z+1|² = 2*|z|² <=> |x+i.y+1|² = 2|x+i.y|² (<=> |x+y+1|² = 2|x+y|² mais ça je ne suis pas sûr ...).

Comment faites-vous ?

Merci.

alors si z=x+i*y avec (x,y) dans R²
|z|=V[x²+y²]=(x²+y²)^(1/2)


de |x+i.y+1|² = 2|x+i.y|²
on reorganise : |(x+1) +i*y|=2*|x+i*y|²
on applique ce que je vient de dire :

(x+1)²+y²=2*(x²+y²)

on developpe et on met tout dans un seul membre :

x²-2x-1+y²=0

on ajoute 2 a chaque membre pour faire apparaitre une identite remarquable :
x²-2x+1 +y²=2
(x-1)²+y²=2
qui est notre equation de cercle.

Bonsoir.

pour la c) on cherchera les points d'intersection de la droite delta et du cercle gamma.

une equation de delta doit etre y=x.

on le voit d'ailleurs par
|z+1| = |z+i|
donc (x+1)²+y²=x²+(y+1)²
donc 2x=2y donc x=y

il ne reste plus qu'a resoudre le systeme :

(x-1)²+y²=2
y=x

systeme qui ne devrait pas poser de probleme.

Je n'ai pas trop compris votre démarche.

Et à vrai dire, je ne comprend pas la question : ils nous demandent de trouver 2 points M tq OM1M2 soit équilatéral ... ça veut dire quoi ça ? Les deux points M sont M1 et M2, non ? Le triangle OM1M2 est équilatéral non ? Comprend vraiment pas du tout ce qu'il nous veulent ^^

Si vous pouviez m'aider SVP ^^

Merci encore et bonne soirée.

PS : au fait, j'ai tout comrpis pour l'histoire de l'équation du cercle ^^ mais c'est juste que j'ai des petits problèmes de rigueur et que je faisais des trucs soit faux, soit qui ne me faisaient pas avancer ^^

pour le message de 20h46

non
la question est

"Déduire de l'étude précédente qu' deux points M pours lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral et placer ces points sur la figure."

c'est a dire que pour chaque point M trouvé, en construisant M1 et M2 a partir de ce M (comme marqué dans l'enonce) on aura OM1M2 equilateral.

OM1M2 equilateral <=> OM1=OM2=M1M2

on veut donc OM1=OM2 ET OM1=M1M2

d'apres les questions precedentes on veut donc M qui appartient a gamma et M qui appartient a delta.

pour trouver M il faut donc chercher les points d'intersection de gamma et de delta.

apres je reprends ce que j'ai ecris

il ne reste plus qu'a resoudre le systeme :

(x-1)²+y²=2 (equation de gamma)
y=x         (equation de delta)

où les coordonnees de M(x,y) (ou si tu veux z=x+i*y) sont les solutions.

resolvons ce systeme

(x-1)²+y²=2
y=x

on arrive a
y=x
et (x-1)²+x²=2

donc 2x²-2x-1=0
discriminant 12=(2V3)²
donc deux racines reelles x1 et x2 distinctes qui sont
x1=(1+V3)/2 x2=(1-V3)/2

pour x1=(1+V3)/2 on a y1=(1+V3)/2
pour x2=(1-V3)/2 on a y2=(1-V3)/2

on trouve donc deux points et seulement deux points pour lesquels leurs coordonnees sont solution de ce systeme (on les appelle M' et M'')

M'( (1+V3)/2 , (1+V3)/2 )

M'' ( (1-V3)/2, (1-V3)/2 )



remarque :
si on prend le point M' et qu'on construit a partir de ce point M1 et M2 correspondants on aura M'M1M2 equilateral.


meme chose pour M''.

a+

Ah ok j'ai compris ^^

Et bien je vais travailler cela.

Merci encore, bonne soirée.

Rebonsoir.

Je voudrais savoir si vous aviez une adresse mail à me donner pour que je puisse vous envoyer un scan de mon exercice (pas pour que vous le corrigiez, juste si ça vous intéresse de le regarder) et de plus, je pourrais comme ça vous envoyer un scan du corrigé de chimie de la dernière fois ^^

Bonne soirée.