>knacky

semble donner pi/2

Je cherche...

Philoux

>Par ailleurs, f(x) n'est pas définie en k.pi, donc en 0 et pi

Par ailleurs, je sèche...

Philoux

Salut, est-ce qu'il s'agit de ? (petit problème de parenthèses)

"Par ailleurs, f(x) n'est pas définie en k.pi, donc en 0 et pi"

Ce n'est pas forcément un problème, x->ln(x) n'est pas définie en 0 mais elle est intégrable en 0.

En revanche, ce serait intéressant de savoir ce qu'il faut faire ici, parce que résoudre une intégrale ne veut rien dire. Veux tu la calculer ou savoir si elle est convergente? Où se ferme ta paranthèse?

bonjour,

oui effectivement, j'ai mal positionné mes parenthèses.

Il s'agit en effet, comme l'a ecrit cinnamon de :



Et pour répondre à otto, je veux calculer cette intégrale.

As tu montré la convergence?
Tu risques de galérer pas mal parce que Maple ne me la trouve pas.
As tu besoin d'une réponse exacte, ou un bonne approximation suffit?

En posant

u=pi.cosx

du=-pi.sinx.dx => du/sin²(x)=-pi.dx/sinx => du/(1-u²/pi²)=-pi.dx/sinx

f(x) devient f(u)=sin²(u)/(-pi(1-u²/pi²)

est-ce pas traitable avec les DL ?

Philoux

utilise les regles de bioche
(changement de variable)

Bonsoir aicko

Bioche ?

Philoux

bonsoir Philoux

Soeint (a;b)^2

supposons définie.

oui la regle de Bioche est abordée en math sup

on l'utilise lorsque l'expression algébrique de la fonction f contient sin x ou cos x ou tan x
ce qui est le cas......

La règle de Bioche nous dit que :

Si  f est paire,  on fait le changement de variable  u=sin x
Si f est impaire, ie , on fait le changement de variable  u=cosx
Si f est -périodique,  on fait le changement de variable u=tan x.
Si f n'est rien de tout ca, on n'aura plus d'autre choix que le changement de variable u=tan(x/2).
Rappelons que dans ce cas:

  
et  

concernant cet exercice la fonction f est impaire(à montrer....)
donc effectuer
le changement de variable u=cos x

l'integrale est bien définie car la fonction f est prolongeable par continuité avec f(0)=0 et f()=0

Ce n'est pas si simple que ça en a l'air à première vue.
J'ai obtenu une expression qui contient une fonction spéciale, la fonction cosinus intégral. Voilà l'expression de l'intégrale :
= (1/2)( ln(4pi)-Ci(4pi)+gamma )
Ci(4pi)= -0,00611748 est la valeur de la fonction cosinus intégral pour 4pi.
gamma = 0,577126 est la constante d'Euler
Ce qui donne pour l'intégrale = 1,57718 qui est voisin de pi/2 = 1,570796
La différence est-elle due à de petites incertitudes de calcul numérique , ou l'intégrale est-elle réellement différente de pi/2 ?
Je pencherais plutot pour la seconde hypothèse car je ne vois pas comment l'expression ( ln(4pi)-Ci(4pi)+gamma ) pourrait se ramener à = pi.
Affaire à suivre... mais pas par moi, car je pars en vacances.
Bon courage à tous

Ce qui donne pour l'intégrale = 1,57718 qui est voisin de pi/2 = 1,570796
C'est exactement ce que je me suis dit, et ce doit être les mêmes valeurs que Maple m'a sorti.
Notamment, j'en reviens à ma question de départ, la valeur exacte est elle importante ici?
Sinon on développe notre fonction avec Laurent à l'ordre voulu, on intègre tout et hop.
A+

1,5571782755

Bonjour tout le monde,je crois qu'une petite transformation de notre intégrale (notons la I) nous fera du bien:
comme l'a vu philoux avec u=cos(x) ona
ou encore en ramarquant que la fonction intégrée est paire,que et avec quelques petits changements de variables on a que:
et on peut maintenant utiliser le fait que la fonction: est développable en série entière sur (la convergence étant uniforme sur tout intervalle compact,on peut intervertir somme et intégrale) on a que:
l'avantage avec les séries altérnées est que l'on sait majorer le reste et on a donc pour tout :

enfin j'espére que je n'ai pas dis de bétises  

>aicko

Merci pour Bioche; Ca marche tout le temps ?
Pourquoi n'est-ce pas enseigné en pré-bac ?

>majid52

Comment déterminer le nombre de termes utiliser si on veut une précision de 10^-p ?

comment trouver n pour
  (4pi)²ⁿ⁺²
-------------  < 10^-p
4(n+1)(2n+2)!

Merci

Philoux

"Merci pour Bioche; Ca marche tout le temps ?"
Je dirais que non, sinon tu pourrais intégrer toute fonction ayant une parité, et donc par suite, toute fonction.

"Pourquoi n'est-ce pas enseigné en pré-bac ?"
Une raison est que les changements de variables ne sont pas enseignés en pré-bac (imagine le truc, déjà sur des intégrations simples tu trouves n'importe quoi dans les copies, alors avec le changement de variable tu vas trouver des truc abérrants, sans changement ni des bornes ni du dx. Outre celà, c'est assez lourd et ca demande une certaine reflexion sur l'objet que tu intègres, et les élèves de pré-bac n'ont pas ce recul non plus je pense. L'intégrale ne se voit qu'en terminale, donc il y'a beaucoup de choses que l'on ne voit pas. Les règles de Bioche je les ai vues en sup et je ne m'en suis jamais servi sauf en exemple direct. Celà étant c'est sur qu'il faut le connaître, mais qui les connait vraiment? (c'est comme les formules trigo)

Pour ta dernière question, (précision à 10^-p) il suffit de résoudre l'inéquation en fonction de n. Notamment c'est loin d'être trivial, mais ici ca va converger assez vite.
Je me demande s'il n'y a pas un facteur 1/2 qui manque dans sa solution. (le 1/2 devant la somme à la 3e ligne je ne le vois plus à la 5e ligne)

Merci otto


Je dirais que non, sinon tu pourrais intégrer toute fonction ayant une parité, et donc par suite, toute fonction

aicko semble cependant les limiter aux fonctions trigo, non ?

Philoux

Pas d'avis sur les autres questions ?

post croisés 12:32

comment sais-tu que ça va converger assez vite ?

Philoux

Personnellement je n'ai utilisé ceci que lors de fonction trigo, mais je pense que ca doit pouvoir se généraliser aux intervalles où cos ou sin sont bijectifs (puisque l'on fait des changements de variables, le changement de variable inverse doit exister <-> bijectivité de cos ou de sin), parce que l'on ne regarde que la parité de f (ou eventuellement s'il existe une périodicité).
A confirmer cependant.

Pour la rapidité de convergence, ca se voit parce que l'on évolue en x^N au numérateur et en N! au dénominateur, donc ca va converger assez vite (puissance comparée). Ca va conveger d'autant plus vite que N=2(n+1) qui grandit en déjà "vite".
pour n=18 t'es déjà à 10^-3 au dessus de 0, à n=19 tu as à 10^-4 et ainsi de suite.
D'après les estimations que j'en fait avec Maple sur une dizaine de chiffre (donc rien de convaincant en fait) ca semble évoluer en O(10^-n), mais en fait ca semble converger plus vite encore.
Avec Maple j'ai l'impression que ca converge en plus vite qu'en O(10^-n) mais moins vite qu'en O(10^-(n^(p/q)))  p/q>1

Je vais essayer de donner une estimation un peu meilleure que celle ci que je fais à la va vite si ca t'interesse.

>otto

Ce n'est pas tant la valeur de l'approximation qui m'interesse que le principe que tu utilises.

Par exemple O(10^-n) m'est inconnu...

Philoux

Le principe ici ca a été Maple mais comme je te l'ai dit, on voit déjà qu'avec les puissances comparées, on peut estimer si la vitesse de convergence va être lente ou rapide (est ce que ca converge selon la vitesse de n! ou celle de log(n)?)
O(f) c'est une fonction dont le rapport avec f est borné. C'est en général ainsi que l'on estime les vitesses de convergence.
Par exemple O(10^n) c'est une fonction telle que
O(10^n)/10^n va être borné.
Ca veut dire que leur vitesse de convergence vont être les mêmes.

Par exemple, f(n)=(sin(n)+2)n²
il y'a du sinus c'est énervant, je vois que ce qui va surtout influencer ici ca va être le facteur n²
f(n)/n²=(sin(n)+2) qui n'a pas de limite, mais qui reste borné entre 1 et 3.
Notamment f(n)=O(n²)
Etre en O(f) c'est moins fort qu'être en o(f), mais pour ce que l'on en fait c'est suffisant, et des souvenirs que j'en ai, c'est plus stable par opérations.

En espérant que c'est plus clair.
A+

otto 13:08

Oui, c'est plus clair.

Sinon, quelle différence entre O( ) et o( ) ?

Philoux

Etre O(f) au voisinage de a, c'est être de rapport borné au voisinage de a.
Etre o(f) au voisinage de a, c'est être de rapport tendant vers 1 lorsque x tend vers a.
On voit que si g=o(f) alors g=O(f) mais pas l'inverse (contre exemple donné dans mon précédent post).
A+

Ok merci
Philoux

Bonjour,

Je pensais que o(f) au voisinage de a, c'est être de rapport 0 lorsque x tend vers a. Mes souvenirs sont-ils trop lointains ?

Nicolas

Non c'est juste, je pensais à "équivalent" quand j'ai répondu.
Merci de cette rectification
A+

Bonjour tout le monde,
otto, le je l'ai fait entrer dans le c'est ce qui a donné le   à la place du  
philoux,la suite est à convergence assez rapide vers 0 puisque

bien vu le rapport Un+1 / Un

merci

Philoux

Bonjour tout le monde;
avec Maple pour l'expression en série de l'intégrale donne:
avec une erreur Maple donne également la valeur exacte de cette intégrale:
avec

Je m'excuse,une petite erreur de frappe:

bah dis donc, c'est bien precis tout ca !

Merci à tous !
Néanmoins, j'ai un petit pb vis-à-vis des estimations données par Maple.
Un résultat intermédiaire de l'intégrale était :
I =

Or (mais c'est à vérifier, je ne l'ai trouvé que sur un site web, par hasard), une propriété du cosinus intégral est :

Ci(x) = ln(x) + +

où est la constante d'euler,

et donc si x = 4 il vient:

I = ln (4) + - Ci(4)
soit I = 2.531 + 0.577 + 0.0061 (d'après matlab)

ce résultat est différent de celui de Maple.

Pire, si on passe par la série entière que majid52 a trouvé, on voit bien qu'elle converge, mais je n'arrive pas à trouver vers quoi. Si je calcule les 1ers termes, elle a même l'air de diverger.

Pourquoi tant de résultats différents ?
Please, help !

Désolée, j'avais oublié le facteur 1/2 devant l'intégrale, le résultat est donc identique à celui de Maple... c'est déjà ce qu'avait donné JJa en plus.

Par contre, pour la série, je ne vois toujours pas...

De retour, je vois que l'on est d'accord :
- Le résultat est effectivement différent de pi/2
- Le résultat exact s'exprime grace à la fonction spéciale Ci "cosinus intégral". Elhor_abdelali a donné la même formule que moi :
(1/2)( ln(4pi)-Ci(4pi)+gamma )
Donc il n'y avait pas d'erreur.

Bonjour ! J'aurais Besoin d'aide svp c'est urgent!! Quelqu'un peu maider ??

Jattend toujours une personne étan disponnible pour maider! Svp

Je vais vous laisser mon exercices qui me pose problèmes et si Kelkun veu bien maider si possible svp avant demain!! je lui serai trés reconnaissante. Donc cette exercices suivant me pose énormément de problèmes:
On donne les points A(-1;2), B(3;4) et E(-2;-2).
Calculez les coordonées de C et D tels que ABCD soit un parallélogramme de centre E.   Merci d'avance il me reste peu de temps pour rendre cette exercices.

Bonjour,

Merci de respecter les règles du forum : ouvre un nouveau topic pour ce nouvel exercice.

Nicolas