Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts

Posté par siana (invité) 30-10-04 à 17:02

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour un exercice svp.Voici le sujet et apres je mets ce que jai fait et là où je bloque.

L'énoncé:
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (0,vectu,vectv)
On désigne par A le pt d'affixe i.
A tt point M, distinct de A ,d'affixe z, on associe le pt M' d'affixe z' définie par :
Z'=(z^2)/(i-z)

1)Déterminer les pts M confondus avec leur image M'.

2)Etant donné un complexe z distinct de i ,on pose z=x + iy et z'=x' + iy' avec x, y, x', y' réels.

Prouver que X'=(-x(x^2+y^2-2y))/(x^2+(1-y)^2)

En déduire l'ensemble E des pts M dt l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs.

3)Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des pts M tels que M et M' sont situés sur un même cercle de centre O.

4)Dans toute cette question on considère un point M d'affixe z, situé sur le cercle de centre A et de rayon ½.

M' est le point d'affixe z' correspondant et G l'isobarycentre des points A, M et M'.

*calculer l'affixe zG de G en fonction de z.

*Démontrer que G est situé sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
*Apres avoir comparé les angles (vect u, vect OG) et (vect u, vect AM) effectuer la construction de G en l'expliquant.
*Déduire celle de M'.

Mes réponses:

1)Je ne comprends pas ce qui est demandé c'est surement tt bete mais je ne vois pas...
2)J'ai réussi donc pas de pbleme.
3)Je n'arrive pas à trouver cette relation simple donc je ne peux pas déduire l'ensemble.

4)J'ai mis que comme G est l'isobarycentre de A M M' c'est le bar de A1 M1 M'1 on a donc:

zG=[(1*i) + (1*z) + (1*(z^2/i-z))]/3
zG=[i + z + (z^2)/(i-z)]/3

mais cela ne m'amene à rien donc j'ai vraiment besoin de votre aide.



merci d'avance!

Posté par zineb (invité)re : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 30-10-04 à 17:21

coucou
alors voila quelques pistes

1) tu poses z'=z et tu résouds (en n'oubliant pas que z différent de i) ce sont les points dont l'image par l'application dont il est question (c comme pour une fonction en qqs sorte)

2)c bon

pour le reste je t'avoue que je me pencherai dessus après mais pas maintenant

ciao

Posté par siana (invité)merci 30-10-04 à 21:00

merci pour ce début j'espere que tu pourras m'aider pour la suite si tu as le tps!

Posté par
Belge-FDLESVP, besoin d aide 01-11-04 à 20:42

Salut Siana ,

Je suis désolé, mais je ne vais pas pouvoir t'aider pour tout l'exercice .
La raison est que je bloque à la question 2)d) et que je ne comprend pas en quoi j'ai faux.
Bon, je vais quand même t'aider pour ce que je peux .

1) Déterminer les points M confondus avec leur image M'
M a pour affixe z, et M'a pour affixe z'.
Ces deux points sont donc confondus si et seulement si :

2$\rm~\array{rcl$z&=&z'\\z&=&\frac{z^2}{i-z}\\z(i-z)&=&z^2}

Ici, il faut séparer deux cas :
   * Si  2$\rm~z=0  alors la relation est vérifiée, ce qui veut dire que le point M d'affixe z=0, est une solution possible.
   ** Si 2$\rm~z\neq0  alors on peut simplifier par z, pour obtenir :

2$\rm~\array{rcl$z(i-z)&=&z^2\\i-z&=&z\\2z&=&i\\z&=&\frac{1}{2}i}

Conclusion : Les points M confondus avec leur affixe sont ceux d'abcisse 2$\rm~z=\frac{1}{2}i et 2$\rm~z=0.


3) Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des pts M tels que M et M' sont situés sur un même cercle de centre O.
Je vois pas non plus, désolé .


4)a) Calculer l'affixe 2$\rm~z_G de G en fonction de 2$\rm~z.
Tu es plutôt bien partie .
C'est dommage que tu te sois arrêté en route. Je reprend là où tu t'es arrêtée :

2$\rm~\array{rcl$z_G&=&\frac{i+z+\frac{z^2}{i-z}}{3}\\z_G&=&\frac{\frac{(i+z)(i-z)+z^2}{i-z}}{3}\\z_G&=&\frac{(i+z)(i-z)+z^2}{3(i-z)}\\z_G&=&\frac{-1-z^2+z^2}{3(i-z)}\\z_G&=&\frac{-1}{3(i-z)}\\z_G&=&\frac{1}{3(z-i)}

b)Démontrer que G est situé sur un cercle de centre O et de rayon que l'on déterminera.
Pour cela, il faut calculer la longueur OG, càd 2$\rm~|z_G-0|, et montrer que cette longueur est constante.
On a :

2$\rm~\array{rcl$|z_G-0|&=&|z_G|\\|z_G-0|&=&|\frac{1}{3(z-i)}|\\|z_G-0|&=&\frac{|1|}{|3||(z-i)|}\\|z_G-0|&=&\frac{1}{3|(z-i)|}}

Or, on sait que z est l'affixe de M t i celle de A, donc 2$\rm~|z-i|~=~||\vec{AM}||~=~AM.
Or, par hypothèse, M appartient au cercle de centre A et de rayon 2$\rm~\frac{1}{2}, ce qui veut dire que 2$\rm~|z-i|~=~AM~=~\frac{1}{2}.
On obtient donc :

2$\rm~\array{rcl$|z_G-0|&=&\frac{1}{3|(z-i)|}\\|z_G-0|&=&\frac{1}{3(\frac{1}{2})}\\|z_G-0|&=&\frac{2}{3}}

Conclusion : M est situé sur le cercle de centre O et de rayon 2$\rm~\frac{2}{3}.

c) Apres avoir comparer les angles 2$\rm~(\vec{u},\vec{OG}) et 2$\rm~(\vec{u},\vec{AM}) effectuer la construction de G en l'expliquant.
C'est ici que je bloque, et que je ne comprend pas pourquoi mon résultat est faux
Voici comment j'ai procédé.
Alors, on sait que :

2$\rm~\array{rcl$(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(\frac{z_G-0}{1})\\(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(z_G)\\(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(\frac{1}{3(z-i)})\\(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(1)-arg(3(z-i))\\(\vec{u},\vec{OG})&=&-(arg(3)+arg(z-i))\\(\vec{u},\vec{OG})&=&-arg(z-i)\\(\vec{u},\vec{OG})&=&-\frac{arg(z-i)}{1}\\(\vec{u},\vec{OG})&=&-(\vec{u},\vec{AM})}

Voilà, et ce résultat est faux, et je vais le montrer en prenant trois exemples :
* Prenons 2$\rm~z~=~\frac{1}{2}i (point géométriquement situé à l'extrème bas du cercle de centre A et de rayon 1/2), on a alors 2$\rm~z_G&=&\frac{2}{3}i. Ici, notre relation marche, et on voit que l'on a bien :
  2$\rm~(\vec{u},\vec{OG})~=~-(\vec{u},\vec{AM})

** Prenons 2$\rm~z~=~\frac{1}{2}+i (point géométriquement situé à l'extrème droite du cercle de centre A et de rayon 1/2), on a alors 2$\rm~z_G&=&\frac{2}{3}. On voit bien ici que l'on a au contraire :
  2$\rm~(\vec{u},\vec{OG})~=~(\vec{u},\vec{AM})

*** Si on prend un autre point, qui n'appartient pas au cercle (notre relation devrait quand même marcher car jamais, on utilise dans les questions a) et c), le fait que M appartient au cercle de centre A et de rayon 1/2), par exemple 2$\rm~z~=~\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i, alors on obtient 2$\rm~z_G&=&\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i. Et là, on voit bien ..... que l'on a plus la moindre relation entre nos deux angles orientés :?.

Ce serait très sympas que quelqu'un me dise où est-ce que je me trompe dans mon raisonnement (j'ai pensé que peut être je m'étais trompé au a), mais après plusieurs vérifications, apparemment, j'ai juste -du moins au a) -).
Voilà, .
J'attend avec impatience l'aide d'une bonne âme .

Merci d'avance à tous ceux qui se pencheront sur mon problème.

À +

Posté par
Belge-FDLEre : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 01-11-04 à 20:46

Oups, désolé pour les & qui se sont glissés de chaque côté des = à la fin de l'énoncé.
Et aussi, c'est à la question 4)c) que je bloque, et non à la 2)d), qui par ailleurs n'existe même pas dans l'énoncé (je fatigue moi ).

Voilà .

À +

Posté par siana (invité)re : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 01-11-04 à 21:03

merci bcp pour ta réponse je vois quz
e tu as pris le temps de m'aider c'est super sympa!!!je vais te donner ce que j'ai trouver pour la question 3 tu pourras me dire si c'est juste!
On a z'=z^2/(i-z) donc OM'=OM^2/AM.
Or on sait que OM et OM' sont égaux puisque M et M' appartiennent au mm cercle on a donc:
OM=OM^2/AM et on arrive à OM=AM.Pour conclure j'ai mis que M est sur la médiatrice de OA mai je ne sais pas si c'est juste????

Posté par
Belge-FDLEre : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 01-11-04 à 21:23

De rien pour l'aide, ce fut un plaisir ,

Mais lol , il faut croire que je fatigue vraiment .
À la 3), je cherchais une relation entre OM, OM', et OA (au lieu de AM , pas étonnant que je bloque lol ).
Bref, désolé pour cette lecture un peu rapide de l'énoncé .

Sinon, je suis tout à fait d'accord avec ton raisonnement , je trouve la même chose que toi.
Je ne sais pas s'il faut également citer le cas où les trois points O,M et M' sont confondus, car je ne sais pas si, dans ce cas, on peut parler de cercle (quoique après tout, un cercle est défini comme un ensemble de point équidistant d'un même point, donc si cette distance est nulle, normalement ça doit marcher aussi, non? ). Enfin voilà, je suis dans le doute .

Et sinon, pour la 4)d), est-ce que tu as une idée de où se situe mon erreur ?

A +

Posté par siana (invité)re : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 01-11-04 à 21:25

j'essairai de voir pour ton erreur demain matin parceque la je suis vraiment crevée je sais qu'il est tot mais je me suis bcp fatiguée pdt ces vacs donc je suis cassée!!!!
donc si je trouve demain matin je te fais signe!tu es étudiant(e)?

Posté par
Belge-FDLEre : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 01-11-04 à 21:43

Oui, étudiant, et dans la même classe que toi

Posté par
Belge-FDLEre : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 01-11-04 à 23:40

Désolé à tous,

Je viens enfin de comprendre mon erreur...
En fait, j'ai juste, le seul problème, c'est que je me pose bien trop de questions, et à force de me poser ces questions, je finis par m'embrouiller tout seul...

J'ai fait deux erreurs :
1) J'ai cru que comme on avait les deux angles orientés qui étaient opposés, alors, cela voulait dire que par exemple si un angle était égal à :
2$\rm~0[2\pi]
l'autre devait être égal à :
2$\rm~\pi[2\pi]
C'est le terme "opposé" qui m'a fait réfléchir inutilement. Je voulais que les angles soient opposé "géométriquement" (si l'un va vers le bas, l'autre vers le haut, si l'un va vers la gauche, l'autre vers la droite), ce qui est faux évidemment .

On a par exemple : 2$\rm~-0[2\pi]~=~0[2\pi]
et : 2$\rm~-\pi[2\pi]~=~\pi[2\pi]

2) J'ai confondu (lorsque je tentais d'imaginer les angles) l'angle  2$\rm~(\vec{u},\vec{AM}), avec  2$\rm~(\vec{u},\vec{OM}).

Donc, bref, comme dit précédemment, je fatigue .

À +

Posté par siana (invité)re : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 02-11-04 à 08:27

lol c'est coool tu arrives à te corriger toi même bravo!

a+!

Posté par siana (invité)re : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 02-11-04 à 09:25

Pour le 4c) moi je n'ai pas trouvé exactemment la même chose que toi.

J'ai fait (,vect OG)=arg zG [2pi]
                            =arg(-1/3(i-z)) [2pi]
                            =arg(-1)-arg(3(i-z)) [2pi]
                            =pi - arg(i-z) [2pi]
                            =pi - arg (zM-zA) [2pi]
                            =pi - (,vect AM) [2pi]

mais je ne sais pas si c'est juste ou pas....peut etre que j'ai fait une erreur quelque part...??

Posté par
Belge-FDLEre : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 02-11-04 à 14:41

Salut Siana ,

Une fois de plus tu es bien partie , mais tu t'es arrêtée trop vite et tu as fait une petite erreur sur la fin.
Je reprend de la même façon que toi :

2$\rm~\array{rcl$(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(z_G)\\(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(\frac{-1}{3(i-z)})\\(\vec{u},\vec{OG})&=&arg(-1)-arg(3(i-z))\\(\vec{u},\vec{OG})&=&\pi-(arg(3)+arg(i-z))\\(\vec{u},\vec{OG})&=&\pi-arg(i-z)\\(\vec{u},\vec{OG})&=&\pi-(\vec{u},\vec{MA})~~~~(et~non~(\vec{u},\vec{AM}))\\(\vec{u},\vec{OG})&=&\pi+(\vec{MA},\vec{u})}

Voilà, ici, c'est une étape assez compliquée (enfin, pour la trouver, j'ai dû jeter un oeil à mes cours de 1ère S ).
Il faut en fait se rappeler que :

2$\rm~\pi+(\vec{u},\vec{v})~=~(-\vec{u},\vec{v})~=~(\vec{u},-\vec{v})

Donc, dans notre cas, on obtient :

2$\rm~\array{rcl$(\vec{u},\vec{OG})&=&\pi+(\vec{MA},\vec{u})\\(\vec{u},\vec{OG})&=&(-\vec{MA},\vec{u})\\(\vec{u},\vec{OG})&=&(\vec{AM},\vec{u})\\(\vec{u},\vec{OG})&=&-(\vec{u},\vec{AM})}

Et tu retombes sur le même résultat que moi .
Si tu as des questions, n'hésite pas.

À +

Posté par siana (invité)re : besoin d aide pour un exercice sur les complexes ts 02-11-04 à 21:38

ok oui merci c'est vrai je n'avais pas pensé à ca!!merci beaucoup pour ton aide c'est super sympa t'as l'air d'être un fortiche en maths!!!continue!!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !