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Niveau terminale
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Besoin d aide sur les nombres complexes (difficile!!) merci !!

Posté par Harry (invité) 06-11-03 à 14:02

j'ai deja fait la question 1 et j'aurai besoin d'un
sérieux coup de main sur la question 2 et 3 si possible merci!!!!

1.On considere des nombres complexes a, b, c. Demontrer que les points
A,B,C d'affixe respective a, b, c sont alignés si et seulement
si a*b(conjugue)+b*c(conjugue)+c*a(conjugue) appartient a R.

2.Soit M un point, z son affixe. On note A le point d'affixe i et N
le point d'affixe iz. Déterminer l'ensemble E des points
M tels que A, M, N soient alignées. (On utilisera le resultat de
la question 1 puis on pourra poser z=x+iy où x et y  appartiennent
à R.)

3. Soient a et b distincts de module 1, d'image A et B dans le
plan complexe et M un point d'affixe. Demontrer que M appartient
à (AB) si et seulement si z+ab*z(conjugue ou z barre)=a+b (equation
complexe de la droite (AB))

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Besoin d aide sur les nombres complexes (difficile!!) merci 06-11-03 à 17:13

2)

M: z = x + iy

N: iz = ix - y

a = x + iy
b = ix - y
c = i

a.b(barre) = (x+iy).(ix+y) = ix²+xy-xy+iy² = i(x²+y²)
b.C(barre) = (ix-y).(-i) = x + iy
c.a(barre) = i.(x - iy) = ix + y

a.b(barre) + b.C(barre) + c.a(barre) = i(x²+y²) + x + iy +  ix + y
a.b(barre) + b.C(barre) + c.a(barre) = x + y + i(x²+y²+x+y)

Pour avoir a.b(barre) + b.C(barre) + c.a(barre) réel, il faut: x²+y²+x+y
= 0

(x + (1/2))² + (y + (1/2))² - (1/2) = 0
(x + (1/2))² + (y + (1/2))² = (1/2)

Cercle de centre(-1/2 ; -1/2) et de rayon = 1/4

Les points de l'ensemble E sont sur le cercle de centre(-1/2 ; -1/2)
et de rayon = 1/4
-----  
3)

a = A + iC
b = B + iD
z = x + iy

a.b(barre) = (A+iC).(B-iD)
b.z(barre) = (B+iD).(x-iy)
z.a(barre) = (x+iy).(A-iC)

(A+iC).(B-iD) + (B+iD).(x-iy) + (x+iy).(A-iC)
= AB - iAD + iBC + CD + Bx - iBy + iDx + Dy + Ax - ixC + iAy + yC

Dont la partie imaginaire est : -AD + BC- By + Dx   - xC + Ay

M est (AB) si A,B et M sont alignés -> si: -AD + BC- By + Dx   - xC
+ Ay = 0  (1)


ab.z(barre) = (A+iC)(B+iD).(x-iy)=(AB+iAD+iCB-CD)(x-iy)
ab.z(barre) = ABx-iABy+iADx+ADy+iCBx+CBy-CDx+iCDy
z + ab.z(barre) = x + iy + ABx-iABy+iADx+ADy+iCBx+CBy-CDx+iCDy

a+b = A + B + iC + iD

Si z + ab.z(barre)  = a + b ->

x + ABx + ADy + CBy - CDx = A + B
et
y - ABy + ADx + CBx + CDy = C + D


Dx + ABDx + AD²y + CBDy - CD²x = AD + BD
et
By - AB²y + ABDx + CB²x + CBDy = CB + DB


Dx + ABDx + AD²y + CBDy - CD²x - (By - AB²y + ABDx + CB²x + CBDy) =
  AD + BD  - ( CB + DB)
Dx  + AD²y - CD²x - By + AB²y - CB²x =  AD - CB
AD²y - CD²x + AB²y - CB²x =  AD - CB + By - Dx
-xC(B²+D²) + Ay(B²+D²) =  AD - CB + By - Dx
(B²+D²)(Ay-xC) = AD - CB + By - Dx

comme |b|=1 ->   B² + D² = 1 ->
(Ay-xC) = AD - CB + By - Dx
AD - CB + By - Dx - Ay + xC = 0
-AD + BC - By + Dx - xC + Ay = 0   (2)

Et (2) montre que (1) est exacte -> A,B et M sont alignés SSi z + ab.z(barre)
  = a + b.
-----
Sauf distraction. Vérifie.



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