Mince les carrés ne semblent pas s'afficher...
(x-10) carré + (y-14) carré = 2 carré

Une équation de cercle ?

Exact. Il s'agit d'un exercice en plusieurs étapes, et l'étape de la question s'appelle : Equation de cercle. Mais je n'ai pas souvenir de beaucoup de formules sur les équations de cercle..

Peut être qu'il existe un point B de coordonnées (10;14),centre du cercle de rayon r=2. Et qu'il faut calculer |Zm-Zb|?

C'est la définition même du cercle.

Soit un point C(xC , yC) et une distance r.

Le cercle (C ) de centre  C et de rayon r est l'ensemble
des points M (x , y) situés à la même distance r du point C :

d(C, M) = r

d²(C, M) = r²

(x - xC)² + (y - yC)² = r²

Donc il est impossible de calculer le lieu d'une infinité de points ? Je conclue juste que M sont des points du cercle de centre B(10;14) et de rayons r, tel que |Zb-Zm|=4?

|Zb-Zm|=2 pardon

Il te reste juste à conclure que le lieu des points
recherchés est le cercle de centre B(10;14) et de rayon 2.

|Zb-Zm|=2 n'est pas un lieu géom2trique
mais une équation équivalente à (x-10)² + (y-14)² = 2²

D'accord
Donc si je comprend un lieu c'est la zone où un point peut se trouver ? J'avais un doute

C'est ça.

Merci ! Mon prof disait que c'était facile, donc je comprenais pas pourquoi on devait faire autant de calcul

Re-salut
Étant donné qu'on ne doit poster qu'un message par exercice je repose sur celui la.
J'ai des difficultés pour la suite de l'exercice.
J'ai des doutes sur ce qu'est une inversion :
On me donne : Soit M d'affixe z= x+iy non nul, et M' d'affixe z'=1/z conjugué . Il s'agit d'une" inversion de centre O".

A) Soit M d'affixe z non nulle et M'(z') son image par l'inversion de centre O.
Démontrer que M, M' et O sont alignés

J'ai fait :
z'=1/z conjugué
z' = 1/(x-iy)
z' = 1(x+iy)/x²+y²
z'=1Z/x²+y²
z'= (1/x²+y²) Z
(1/x²+y² = k réel
z' est proportionnel à z, donc les points OMM' sont alignés

B) Démontrer que l'inversion est sa propre réciproque : M' est l'image de M par inversion, donc M est l'image de M' par la même inversion

Il doit y avoir un rapport avec la formule z'=1/z barre. J'ai remarqué que z'x z conjugué = 1. Je doit isoler z, mais je ne sais pas comment enlever le conjugué

C) Un point est invariant par une transformation quand son image est lui même.
Précisez les caractères et la nature de C, C l'ensemble des points invariants par l' inversion de centre O

J'ai trouvé dans un manuel que OC² conjugué = k²,il doit encore y avoir un rapport

Si vous pouviez m'aider, il se peut que je redemande de l'aide dans quelques jours pour la suite de l'exercice, mais j'ai rarement vu un dm aussi difficile, on vient à peine de finir les calculs "de base" en géométrie de nombres complexes (c'est à dire prouver qu'un triangle est rectangle..)

Je devrais plutôt écrire : z'=1/(z conjugué)

Pour l'inversion :

z' = 1/ zbar
------ or z * zbar = |z|²
d'où z' = z / |z|²

On inverse de nouveau :

z" = 1/ z'bar
---- or z'bar = = (1/zbar)bar = ???

Rappel : le produit (le quotient) des conjugués est le conjugué du produit.
cad que (z1/z2)bar = z1bar/z2bar

Après de longues recherches, j'ai finit par trouver !
B) On pose Z''= 1/Z'barre
Or Z' barre = 1/Zbarre

Donc Z''= 1/1barre/Zbarrebarre
Z''=1/1barre/Z
Z''=1Z/1barre
Z''=Z/1
Z''=Z
Donc l' inversion d'un point est sa propre réciproque

Pour le C)
Z est l'affixe de M
Z'=1/Z barre
Z'xZ=1
Or Z'=Z
Donc |Z|²=1²

Et O(0;0) car O est l'origine
Donc |Z-0|=1
OM=1
C est donc l'ensemble des points M et formé un cercle de centre O et de rayon 1

Cependant je bloque sur la fin de l'exercice, je vous l'envoie dans quelques instants

Soir un point P d'affixe Zp=6i
Soit un cercle de centre P et de rayon 6 (le cercle passe donc par l'origine)
Soit un point M quelconque sur le cercle
L'image de M est  M' d'affixe Zm'=1/Zmbarre
Conjecturer le lieu auquel appartiennent les points M'

J'ai conjecturer que les points M' appartiennent à la droite d'équation y=1/12
Mais je n'arrive pas du tout à trouver la technique pour le démontrer

Vraiment personne ?

Bonjour,

Juste la veille de Noël, Joyeuse fête !
Il y aura bientôt plus de monde....

On peut exprimer l'affixe z d'un point M du cercle par son module et son argument . L'inversion inverse le module et maintient l'argument.
Ici pour le cercle z(12cos(/2-) ; ) = ( 12 sin( ) ; ). [O,]
La partie imaginaire de l'inverse de z est donc 1/(12sin( ))xsin( ).

Correctif [0,] Et non   {0,]

Bonjour, et oui, la veille de Noël !
Malheureusement, nous n'avons pas encore vu en cours la notion d'angle avec les nombres complexes (donc je vous avoue que je ne comprend pas très bien votre raisonnement) . Mais je crois que j'ai une autre piste.

J'ai exprimé M' sous forme algébrique.
On sait que Zm'=1/Zmbarre
Or Zm = x+iy
Donc Zm'= 1/x^2-iy^2
A partir de là on réduit... Et on obtient
Zm'= (x/x^2+y^2)+i(y/x^2+y^2)
Re (Zm') =  x/x^2+y^2
Im (Zm') = y/x^2+y^2

Et j'ai également exprimé M sous la forme d'une équation de cercle de centre P(0;6) et de rayon 6
(x-0)²+(y-6)²=36
Je dois alors essayer d'isoler x₂+y² et x et y pour pouvoir résoudre M', mais je ne sais pas comment faire après avoir développer :
x²+y²-6y+36=36

Bonsoir,

pour M' vous arrivez à z'=x'+iy' avec x'=x/(x²+y²) et y'=y/(x²+y²)
Vous avez aussi le lieu de M : (x-0)²+(y-6)²=36 soit x²+y²-12y=0

Vous en tirez naturellement x²+y² = 12y que vous reportez dans y'
et vous obtenez sans peine y'= y/12y = 1/12 quel que soit x.

Merci beaucoup ! En effet j'avais fait une petite erreur de calcul, ce qui m'a bloqué.
J'avais trouvé x2+y2-6y+36=36 au lieu de
x2+y2-12y +36 =36
Merci pour votre aide et joyeuses fêtes !

Bonjour,

--> Chamalloow123 : Ce ne sont pas les petites erreurs de calcul qui "bloquent" mais, et je voudrais que vous le preniez positivement, c'est plutôt le manque de persévérance ...
Il faut avoir un peu d'acharnement à rechercher une solution, tourner autour de tout ce qui est possible pour avoir enfin la récompense d'avoir trouvé  une solution.
Bonne fin d'année

J'ai conscience du bonheur que cela procure de enfin trouver la solution.. Mais je suis sur ce DM depuis littéralement 2 semaines, je commençais à saturer un peu.
On a tous nos moments de faiblesses

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre aide