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Besoin de clarification en théorie des ensembles/catégories
Bonjour.
J'ai posté récemment plusieurs messages sur ce forum, car j'essaye de comprendre certains concepts en théorie des ensembles (set theory) et en théorie des catégories (category theory). Le problème c'est que ce n'est pas du tout mon domaine (j'ai un cursus de physicien à la base), je rame pas mal, et je sens par les réponses, que la représentation que j'ai est erronée. J'ai vraiment envie de comprendre, mais pour que mes questions ne soient pas à côté de la plaque, il faudrait déjà que je saisisse la logique générale de ces deux théories. C'est peut être un peu ambitieux, mais quelqu'un pourrait-il me résumer comment sont construites ces deux théories.
Mon dernier exemple en date de "question à côté de la plaque" a eu lieu sur math stackexchange 
. Mon but était de comprendre quelle était la structure algébrique la plus générale sur laquelle on peut définir un produit tensoriel. J'avais cru comprendre qu'il s'agissait des monoides (en théorie des ensembles) ou de la catégorie monoidale (en théorie des catégories). Jusqu'à ce que quelqu'un me réponde "qu'il n'y en a pas" sans plus de précision. La seule raison que je vois pour qu'il n'y en ait pas c'est que la notion de "structure algébrique la plus générale" n'a pas vraiment de sens. Sauf que si c'est le cas, ça veut dire que ma représentation est complètement fausse. Pour moi en théorie des ensembles, on définissait des types de structures algébriques de plus en plus raffinées en rajoutant des propriétés au fur et à mesure à la manière d'un arbre: par exemple un groupe abélien est un groupe qui est lui même un monoide qui est lui-même un semigroupe qui est lui même un magma etc...
En ce sens, un magma est une structure algébrique plus "générale" qu'un groupe. D'où mon incompréhension de la remarque "il n'y en a pas"...
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce qui m'échappe et ce qui est profondément erroné dans ma représentation ?
Merci beaucoup.
Bonjour,
Je confirme le fait que structure algébrique "la plus generale" n'a pas grand sens.
Avant de répondre precisement à ta question, j'ai deja l'impression que tu fais un confusion sur ce qu'est la theorie des catégroies.
La théorie des catégories pour 99% des matheux n'a pas un but fondationnel comme la theorie des ensembles. La theorie des catégories c'est un langage abstrait dans lequel on peut parler de certaines constructions et de certains objets. Mais cela n'a pas vocation a "remplacer" la theorie des ensembles. C'est simplement un langage qui permet de parler de certaines propriétés de certaines structures.
Ensuite il est faux que les structures algébriques s'agencent de manière linéaires comme un arbre. Ce serait plutot un graphe buissonant, sans relation d'ordre claire.
Un groupe c'est un cas particulier de monoide certes, mais c'est aussi un cas particulier de groupoide, et il n'y a pas de relation nette entre monoide et groupoide.
D'autre part il faut bien comprendre qu'en plus les structures ne "commutent pas au foncteur d'oubli" en general. Cela veut dire que si tu sais faire le produit tensoriel sur deux objets vu dans une catégorie generale (par exemple monoide), et que tu sais faire le produit tensoriel dans une catégorie enrichie (par exemple groupe abélien) alors il n'est pas du tout dit que les deux coincident.
Un exemple simple est le "coproduit", tu peux faire le coproduit de deux groupes abéliens dans la catégories des groupes abéliens. Tu obtiens le produit tensoriel des deux groupes abélien. Maintenant ces groupes ont aussi une structure d'ensemble sous jascent (on oubli que ce sont des groupes quoi), alors ils ont en tant qu'ensembles un coproduit dans la catégroie des ensembles, et ce coproduit est alos la reunion disjointe, qui n'est pas du tout l'ensemble sous jascent au produit tensoriel (i.e au coproduit en tant que groupe) des groupe.
Une catgorie monoidale n'est pas l'equivalent "catégorique" d'un monoide. Une catégorie monoidale est grosso modo une catégorie dans lequel on a "un produit tensoriel". C'est a dire un Bifoncteur avec des propriétés analogues à celle du bifoncteur produit tensoriel sur la catgéorie des k-ev.
Je crois que ce qui pourrait ls plus te satisfaire ce sont les notions de produit, de coproduit etc... dans une catégorie generale.
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