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bijection
Bonjour,
Voila je suis en premiere année d'université. Récemment j'ai fait un controle et le prof nous arendu les copies mais un élément de sa correction me laisse perplexe.
La question était de dire si la fonction f était bijective sur I. (la fonction f(x) = arctan(exp(x)) et I=[0;pi/2])
Alors je dis que la fonction est stricetment monotone (en l'occurrence ici strictement croissante) sur I et continue sur I (montré aux question précédente).
Et le prof sur ma copie écrit que la continuité n'est pas nécessaire mais pour moi ça l'ai. Si la fonction est juste monotone mais pas continue elle n'est pas forcement bijective pour moi.
Voila j'aimerais que quelqu'un m'éclaire sur ce point qui me parraissait pas compliqué avant la correction du controle.
merci d'avance.
Saluut Sasaki !!
Daprès mes connaissances, tu as raison, pour qu'une fonction soit bijective, elle doit être continue et monotone sur l'intervalle de travail !!
Va voir ton prof, et discute avec lui à propos de ceci !!
Bonne chance à toi !!
Bonjour
Voici un contrexemple:
La fonction définie par
n'est ni continue ni monotone mais pourtant bijective.
Bonsoir à toutes et tous
sasaki et pomolo : vous confondez "condition nécessaire" et "condition suffisante" !
de plus "f bijective sur I" ne veut rien dire ! il faut préciser un ensemble d'arrivée pour parler de bijection.
Cela étant dit :
pour que f soit bijective de I sur J, il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone
Mais ce n'est pas nécessaire ! (voir le contrexemple de Camélia)
mm
Merci pour toutes vos réponses.
Non non MatheuxMatou je ne confond pas condition nécessaire et suffisante. A aucun moment je n'ai dit (ni ici ni dans mon controle) que une fonction bijective devait forcement etre continue et monotone.
Voila ce que j'ai écrit précisement sur mon controle: (la fonction f est f(x) = arctan(ex))
F est strictement monotone sur 
et continue sur .
Donc f est une bijection de sur f() = ]0;
/2[
Et le prof me dit en parlant de la continuité:
Cette condition n'est pas nécessaire pour avoir la bijectivité.
Il a peut être raison je ne dit pas que c'est nécessaire. Je dis simplement que c'est suffisant. Si on a continuité et strict monotonie alors on a bijectivité. Ou alors je dois enlever la continuité mais dans ce cas là je comprend plus rien.
Camélia je ne comprend pas très bien ton contre-exemple. Ici la fonction n'est bijective que sur l'un des intervalles: [0;1] ou ]1;2] mais pas sur [0;2] car si tu prend f(x) = 1 tu peux avoir deux antécédants par x : 1 et 2.
Donc ta fonction ne serait que bijective de [0;1] dans [0;1] et de ]1;2] dans [1;2[ mais pas bijective de
[0;2] dans [0;2].
Ce qui revient finalement à étudier deux fonctions qui sont strictement monotone et continue sur un intervalle I.
Dis moi si je me trompe mais je ne comprend pas trop.
Sasaki :>>>
A aucun moment je n'ai dit (ni ici ni dans mon controle) que une fonction bijective devait forcement etre continue et monotone.
ha bon ????
Et le prof sur ma copie écrit que la continuité n'est pas nécessaire mais pour moi ça l'ai.
et pourtant si !... de façon phonétique, certes, mais cela a été dit
Pomolo :>>>
Daprès mes connaissances, tu as raison, pour qu'une fonction soit bijective, elle doit être continue et monotone sur l'intervalle de travail
ben non !
et parfois même elle n'est pas "traçable" !
prends par exemple h
définie par
h(x)=x si x
h(x)=-x si x
sauf erreur de ma part, elle est bijective...
et à mon avis, elle n'est continue qu'en un point : 0
héhé !
mm
sasaki : >>>
pour en revenir à ce qu'a écrit ton prof, il a entièrement raison.
Le théorème suivant est vrai :
Si f , définie sur I, est strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I sur f(I).
Il n'y est nullement question de continuité !
Dans les formulations vues en terminale, le fait que f soit continu sert juste à dire que f(I) est un intervalle lorsque I en est un... c'est en gros le théorème des valeurs intermédiaires.
La stricte monotonie sur un ensemble (même pas un intervalle !) assure l'injectivité. Et le fait de prendre f(I) comme ensemble d'arrivée assure la surjectivité.
La continuité ne sert qu'à simplifier la détermination de f(I) quand I est un intervalle.
Voilà, je crois qu'on a fait le tour de la question !
mm
Ok merci pour toutes vos réponses.
Alors juste un exemple.
Je prend une fonction strictement monotone sur I=[a;b] (on va dire strictement croissante). En x0 de I f n'est pas continue.
En a la fonction tend vers -00
En b la fonction tend vers +00
En x0- la fonction tend vers +00
En x0+ la fonction tend vers -00
Cette fonction serait donc bijective de I sur f(I)= R ??? sous pretexte qu'elle est monotone sur I ? Mais pourtant ici on voit bien qu'un élément de l'ensemble d'arrivé peut avoir plusieurs antécedents par f donc je ne comprend pas.
L'exemple que tu donnes n'est pas strictement monotone sur [a,b] puisqu'il existe des éléments ,
et f(x) > f(y).
Ok merci beaucoup.
En fait tout mon problème venait de ma conception erroné de la strict monotonie.
C'est comme si je considérai la fonction inverse comme strictement monotone sur R: c'est une grossière erreur. Il faudrait distinguer les deux intervalles ]-00 0[ et ]0;+00[.
A la la encore une fois je vous remercie de m'avoir aidé (pour un problème si bête et si simple) et d'avoir été patient pour expliqué jusqu'au bout.
Qui plus est, dans ton exemple, Sasaki, elle n'est pas strictement monotone sur [a;b] ta fonction puisqu'elle n'est définie ni en a, ni en b, ... ni en x0 !
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