Bonjour,

Je ne sais pas dans quel niveau classer cette question, je la classe donc
dans "autre".

J'essaye depuis quelques temps de trouver un contre-exemple sans y arriver.

J'ai lu dans le "Contre-exemples en mathématiques" de Bertrand Hauchecorne
qu'il existe une fonction f bijective de R dans R, continue en 0, avec f(0)=0,
telle que son application réciproque f^(-1) ne soit pas continue en 0
(p. 61 pour ceux qui ont le livre).

J'aimerais savoir si on peut trouver un exemple de fonction bijective de R dans R,
derivable en 0, avec f(0)=0 et f'(0) non nul, telle que l'application réciproque
ne soit pas dérivable en 0.

J'ai essayé d'adapter le contre-exemple du livre de Hauchecorne, mais sans
y arriver.
Tout ce que je peux dire, c'est (comme le titre de mon topic l'indique)
que mon contre-exemple, s'il existe, sera forcément tel que l'application
réciproque ne sera pas continue en 0 ;
en effet, si f^(-1) est continue en 0 et f dérivable en 0, et f'(0) non nul,
alors il est très facile de montrer que f^(-1) est dérivable en 0.

J'ai aussi essayé de démontrer qu'on ne pouvait pas trouver un tel contre-exemple.
C'est-à-dire de montrer que si f est bijective, dérivable en 0 et f'(0)=0,
alors f^(-1) est continue en 0. Mais là aussi sans succès.

Si quelqu'un peut m'aider, j'en serais heureux.
D'avance merci.

Laurent.