Si f est surjective, pour tout y dans Y il existe x dans X tq f(x) = y
Considère la relation d'équivalence
Sur X définie par a~b ssi f(a) = f(b)

La classe correspondant à y est l'ensemble de ses antécédents.
Tu as donc une bijection entre Y et X/~.
Et donc Card(X) <= Card(Y) = Card(X/~).
Mais card(X/~) <= card(X) car tu regroupes les éléments de X
Donc card(X) = card(Y) = Card(X/~) et la relation ~ est triviale (c'est à dire qu'il n'y a dans la classe de x, que x lui meme). Et donc f est injective

L'application Y->X/~ est bien une bijection et deux éléments de Y différents ont des antécédents tous différents (injection) et parce que tout element de [x] est un antécédent par f de y=f(a) (surjection).

Je te laisse formaliser tout cela et nous faire la suite de l'exo

Bonjour zartos.

1) Si Card(X) Card(Y) alors, par définition, c'est qu'il existe une injection de X dans Y.
Si de plus il existe une surjection de X sur Y alors on a également Card(X) Card(Y).
Donc Card(X) = Card(Y) et par définition toujours, cela signifie qu'ils sont en bijection.

2) Même type de raisonnement

3) Tu montres que g o f est à la fois injective et surjective.

Ensuite g o f : X -> Z et donc (g o f)^(-1) : Z -> X.

Par suite est l'unique élément tel que (g o f)(x) = z ie

et et donc

Oui mais il faut montrer que f est injective, pas seulement qu'il existe une bijection entre X et Y

Ah oui très juste ...

Non, ~ est une relation binaire sur
Je dis qu'il y a, puisque f est surjective, une bijection de .
Peux-tu me la donner ?

En fait, on n'a besoin que d'une injection, mais en l'occurence il y a une bijection

Je ne crois pas avoir bien compris et par X/~ vous voulez dire la classe d'équivalence de y ?

Non X/~ est l'ensemble formé des classes d'équivalence de la relation ~. C'est un ensemble qui contient des sous-ensembles de X. Y'a pas de y ici.
Prends . Quelle est la classe d'équivalence de x ?

Oui ! Mais j'aurais préféré que tu écrives des x' ou des a, à la place des y pour éviter les confusions.
Bon alors, est-ce que tu peux me décrire les éléments de avec une phrase en français ?

Si j'appelle , que sont les éléments de , avec une phrase contenant le mot "y"

Les éléments de sont les éléments qui sont équivalents à lui même

Oui, mais en fonction de y ça donne quoi ?

tous les y tels que f(y) = y ?

Si , est l'ensemble des ... de y par f

Quel mot il manque ?

Ah d'accord, c'est clair maintenant!  Vous aviez raison, c'est beaucoup plus mieux avec des x' ou des a. Donc est l'ensemble des antécédents de y par f. Mais je ne comprends toujours pas le X/~

Oui ! c'est ça
\dot{x} est donc l'image réciproque de {y} par f, qu'on note en général

Maintenant, je définis par

1) Pourquoi est-elle bien définie sur Y ?
2) Pourquoi est-elle injective ?
3) (Bonus) Pourquoi est-elle surjective ?