bonjour

problème de saisie ?

parce que tel que c'est écrit :  e^x + e^x = 2e^x
et e^x= 1/e^x (?)

Bonjour !

Oups oui merci beaucoup, je voulais rectifie :

f : [0;+[ [1;+[ définie par f(x)= (e^x + e^-x)/2

Je fixe donc y dans [1;+[
On résoud f(x) = y
(e^x+e^-x)/2 = y
(e^x +e^-x) = 2y

Ici je ne sais pas comment procéder pour isoler l'exponentielle afin de composer alors la fonction logarithme pour trouver ma solution x.
J'ai essayé avec e^-x= 1/e^x et j'obtenais donc (e^2x+1)/e^x mais je tournais en rond..

j'ai bien trouvé quelque chose, mais je ne m'explique pas pourquoi en composant ensuite f et f^-1, je ne retrouve pas la fonction identité (?)
sans doute une erreur grossière, mais je ne vois pas :/

je pose, pour simplifier l'écriture :  X = e^x --> e^-x = 1/X

f(x) = y
(e^x+e^-x)/2 = y
(X + 1/X)/2 = y
X + 1/X = 2y
(X² + 1)/X = 2y
X² + 1 = 2y * X
(X+1)² - 2X = 2y X
(X+1)² = 2X(1 + y)
1 + y = (X+1)²/(2X)
y = (X+1)²/(2X) - 1
y = (e^x +1)²/(2e^x ) - 1

f^-1(x) = (e^x +1)²/(2e^x ) - 1

Bonjour,

Poser X=exp(x) est une bonne idée.

Lorsque l'on a 2yX=X²+1 on a aussi X²-2yX+1=0 et on reconnait (presque) une identité remarquable. Une fois qu'on a écrit ça sous une autre forme c'est fini.

j'ai cherché d'autres pistes, puisque mon résultat ne convient à l'évidence pas (et je ne sais toujours pas pourquoi).

--> la fonction f est appelée cosinus hyperbolique, notée cosh(x)
son application réciproque est l'argument cosinus hyperbolique.
arcosh(x) = ln(x + (x²-1))  pour x1

pour la démo, je l'ai trouvée par ex. ici :
elle revient à résoudre l'équation du second degré, et à retenir la seule racine 1 ... j'aurais dû y penser  

Bonjour !
Trouver vérifiant c'est résoudre une équation de degré 2 : il n'y a pas d'identité remarquable à invoquer !
Tu obtiens donc : faut choisir la bonne racine ! Puis une expression en fonction de : c'est ton .


@carita : tu as recalculé en fonction de . Si les calculs sont exacts (je n'ai pas vérifié) tu retrouves donc et non pas ...

bonjour Luzak
et oui en effet, je retrouve f.
je vais réfléchir pourquoi... _{(il y a bien longtemps que je n'ai pas fait ce type d'exo)}

oups, j'ai compris mon erreur... vraiment n'importe quoi!

Re-bonjour !

J'ai bien suivi votre cheminement et j'aboutit bien au calcul du discrimant, pour lequel je trouve 0 donc une solution (X₀= 1)

Par contre je ne suis pas sûre d'avoir bien retrouvé x :
On sait que e^x= X  ,le résultat est donc e^x=-1 ln (e^x) = ln(l) donc x=0 ?

Comment peux-tu trouver un discriminant nul pour ? Vérifies tes calculs !

Bonjour

Une remarque en passant: on peut démontre la bijection en dérivant. Evidemment on n'a pas la réciproque.

J'avais posé b= 2 mais c'est plutôt b=2y, je refais :
Je pose a = 1 / b= 2y/ c=1

= 4y² -(4x1x1) = 4y²-4

x₁= (-2y-4y²-4/2
x₂= (-2y + 4y²-4)/2

C'est bien ça ?

Je ne vois pas bien pourquoi mon indication n'a pas été suivie...

X²-2yX+1=0 (X-y)²-y²+1=0 X-y=(y²-1) X=y+(y²-1) .

Une fois arrivé là, on retrouve notre x = ln(y+(y²-1)) .

Pardon pour mes symboles qui ne sont pas tout à fait "justes".
Le résultat reste inchangé, il s'agit bien de argch...

Bonsoir !

Des "pas tout à fait justes" sont interdits dans une démonstration !

Il manque la justification du choix au lieu de

@ mylo36 :
"Exact" , je ne peux pas dire : me sont inconnus (tu ne les as pas définis) et j'attends toujours l'écriture demandée de en fonction de .

Me revoilà !

Alors oui avec ton indication j'obtiens bien   X=y+(y²-1)
Or on sait que X = e^x donc pour obtenir x on compose avec la fonction logarithme car bijective sur ]0;+[

On a donc :
x = ln [y+(y²-1)

On obteitn à partir de ça la bijection réciproque f^-1: [1,+[ [0;+[
y   ln [y+(y²-1)

C'est bien ça ?

Merci pour votre aide, j'ai vraiment envie de comprendre mais je n'étais pas vraiment concentrée en cours les années d'avant du coup je manque d'automatismes..

la  justification du choix de la racine n'est toujours pas faite !

C'est parce que l'on cherche à isoler le X, donc si on a. X-y = notre solution (ici le y est négatif), en isolant le X dans notre equation le y change de signe et devient positif

Bonjour !
Non le changement de signe par changement de côté je suis au courant !
Je te parle du choix de la racine de l'équation du second degré : il y a deux racines et tu en choisis une sans dire pourquoi !

Car seule cette solution est comprise dans l'intervalle de départ [o;+[ et étant donné que la fonction logarithme est définie sur ]o;+[ alors seule cette solution est valable

Merci pour ton aide, j'y vois bien plus clair !

Non encore !
Les deux racines de l'équation du second degré sont positives : tu ne donnes pas la bonne raison.

Solution : tu as posé donc il faut une racine supérieure à 1 puisque .

Entendu, merci beaucoup !