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bijection reciproque

Posté par
aya4545
28-09-22 à 21:38

bonsoir
incapable de terminer cet exercice prière m orienter  et merci
f  définie de \R dans \R²par
f(t)=(\dfrac{1-t²}{1+t²},\dfrac{2t}{1+t²})
1)mq f est injective
2)mq f(R)\subset   \{ (x,y) \in  \R²  x²+y²=1\}
3)soit E=\{ (x,y) \in  \R²  x²+y²=1\}-\{(-1,0)\} montrer que
f(\R)\subset E
4) montrer que f est bijective et déterminer sa bijection reciproque

j ai fait les questions 1)  2) et 3)
ce que j ai fait dans 4)

soit (x,y) de E montrons qu il existe un et un seul t de R tel que (\dfrac{1-t²}{1+t²},\dfrac{2t}{1+t²})=(x,y)  
ona
(x,y) \in E \implies \exists !      \theta   \in [-\pi ,\pi [  tq  x=\cos \theta   et y= \sin \theta
soit  t =\tan \dfrac{\theta}2
ona x =\cos \theta =\dfrac{1-t²}{1+t²}, et y=\sin \theta  =\dfrac{2t}{1+t²} donc f est bijective
mais je trouve des difficultées pour determiner f^{-1}
et merci

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 28-09-22 à 21:46

il ya un probleme d unicité de   theta sur R

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 28-09-22 à 21:53

je pense que que j ai choisit le chemin le plus complexe
resoudre le systeme   (\dfrac{1-t²}{1+t²},\dfrac{2t}{1+t²})=(x,y) me parait plus facile

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : bijection reciproque 28-09-22 à 22:23

\Large\boxed{t=\frac{y}{1+x}}

Posté par
phyelec78
re : bijection reciproque 28-09-22 à 23:24

Bonsoir,

je regardais cet exercice, je suis sans doute dans l'erreur, car je trouve

t=\dfrac{1-x}y

mais je ne retrouve pas mon erreur, pourriez-vous m'éclairer?
pour trouver j'ai écris x/y .

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 00:04

rebonsoir
  (\dfrac{1-t²}{1+t²},\dfrac{2t}{1+t²})=(x,y) \implies \frac x y =\dfrac{1-t²}{2t}
donc yt²+2tx-y=0
donc t_1=  \pm \frac {x+1}{y}

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 00:12

la valeur  de t  qui convient
c est t=\frac{y}{1+x} donné par elhor_abdelali que je remercie
je ne sais pas ou est l erreur

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 00:26

aya4545 @ 29-09-2022 à 00:12

la valeur  de t  qui convient
c est t=\frac{y}{1+x} donné par elhor_abdelali que je remercie
je ne sais pas ou est l erreur

il n ya pas d erreur mais je n arrive pas à trouver la piste suivie par elhor_abdelali et bonne nuit

Posté par
GBZM
re : bijection reciproque 29-09-22 à 15:26

Bonjour,
Tu as déjà pensé à la tangente de l'angle moitié.
Si tu te souviens du rapport entre angle au centre et angle inscrit, tu devrais voir la piste du \dfrac{y}{1+x}

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 15:43

bonjour
merci GBZM
je sais que l angle au centre est le double de l angle inscrit interceptant le meme arc de C
 t =\tan \dfrac{\theta}2 mais je ne vois pas pourquoi
 t =\tan \dfrac{\theta}2=\frac {1+x}y et merci

Posté par
GBZM
re : bijection reciproque 29-09-22 à 16:04

Fais un dessin.
Tu as l'angle au centre du cercle unité. Et l'angle moitié inscrit dans ce cercle, qui a pour tangente \dfrac{1+y}{x} devrait te sauter aux yeux.

Posté par
GBZM
re : bijection reciproque 29-09-22 à 16:08

pardon, \dfrac{y}{1+x}, bien sûr !!

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 17:30

voici la figure que j ai fait

bijection reciproque

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 17:47

t=\tan \frac{\theta}2=\frac{\sin \frac{\theta}2}{\cos  \frac{\theta}2}=\frac {sin \theta}{2\cos ² \theta }=\frac {y}{1+x}
merciGBZM

Posté par
GBZM
re : bijection reciproque 29-09-22 à 18:58

Comme ça :

bijection reciproque

Posté par
phyelec78
re : bijection reciproque 29-09-22 à 21:10

OK,merci pour cette explication géométrique.

Je crois qu'on a aussi une formule qui dit :

tan(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a))= (1 - cos(a)) / sin(a)

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 22:37

bonsoir
merciGBZM a partir de la figure que vous avez fait  on peut conclure aisément que  
 \tan \dfrac{\theta}2 =\frac {y}{1+x}

Posté par
aya4545
re : bijection reciproque 29-09-22 à 22:42

merci phyelec78  et bonne nuit



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