Salut,

u est bijectif si le determinant de la matrice associé à u est différent de 0. Or, il est simple de déterminant la matrice associé à u en partant de la base canonique car l'endomorphisme est entièrement déterminé par les images des vecteurs de cette base.

*de déterminer

salut, tu veux dire que l'on doit exprimer u tel que u(X^i)=1+X²+...+X^i-1+(i+1)Xⁱ dans la base canonique (1,X,X²,...,X^?) i??
c'est ça??

est-ce que ça veut dire qu'on va avoir des 1 partout sauf a la ieme ligne et i eme colonne ou l'on aura i+1 ??

M Matrice triangulaire supérieure:

1 1 1 1...1
0 2 1 1...1
0 0 3 1...1
0 0 0 4...1
...........
........0 n+1

le déterminant est le produit des elements diagonaux, donc (n+1)!

Il est non nul, donc l'endomorphisme est bijectif

il faut avoir avant cela montré que ca reste dans Rn(X)

Oui c'est cela jeanseb!


Moi c'est plus beau
Il suffit de calculer je disais les images des vecteurs de la base :



...

si tu fais det (M-I) le polynome caractéristique tu trouves

(-1) ⁿ⁺¹_k=1 ⁿ⁺¹ (X - k)

polynome de degré n+1 qui a (n+1) valeurs propres différentes dans un espace vectoriel de dimension n+1 donc l'endo est diagonalisable et les valeurs propres sont les entiers 1;2;3....n+1

C'est aussi ce que j'ai trouvé !


(décidemment toujours plus beau!)

Et toc!

?

allez j'y vais apluche

u diagonalisable et inversible, donc u-1 l'est aussi,

dans la même base de vecteurs prores,

avec évidemment les valeurs propres inverses de u ,

soit les   

hey salut jeanseb!!! tu tatonne de mieux en mieux le latex à ce que je vois...merci pour tes réponses, pour diagonaliser, j'écris la matrice dans la bese des vecteurs propres,c'est ça??

oui oui çayé j'ai compris!! lol,cayé,le temps que ça monte au cerveau...,ok, merci à vous deux pour vos réponses et a bientot sur l'ile.

voila jeanseb :

\fbox{\fbox{...}} --->

\fbox{\fbox{\fbox{...}}} --->

etc ... !