Bonsoir,

Soient f,g,h trois fonctions. Montrer que si gof et hog sont bijectives, il en est de même de f,g et h.

Voila ce que j'ai fait:

Alors si gof est bijective, g est surjective et f est injective.
De même si hog est bijective, h est surjective et g est injective.

Donc g est à la fois surjective et injective, elle est dont bijective.

Supposons h non injective:
Fixons les ensembles des fonctions f:EF  g:FG  h:GH
  Soient x,y F

xy g(x) g(y) car g est injective.
Or h est non injective, donc il existe: g(x) g(y) h(g(x)) = h(g(y))
Mais comme hog est injective: xy   h(g(x)) h(g(y)). D'ou une contradiction. Donc h est injective, surjective et ainsi bijective.

Deja est-ce que la démonstration est correcte jusque ici? Puis comment faire pour démontrer que f est surjective?

Merci d'avance