salut

<=

injective ?

soit y et z dans E tel que f(y)=f(z)
raisonnement par l'absurde y different de z.

on prend A={y} donc f(E\{y})=F\f({y})

or z appartient a E\{y} donc f(z) appartient a f(E\{y})
donc a F\f({y})
comme f(z)=f(y) f(y) appartient a F\f({y}).

contradiction.

donc f injective.

surjective ? on prend A=ensemble vide.
F(E)=F ok.f surjective.

donc f bijective.

Merci d'avoir répondu si rapidement
Il est clair que j'avais tort de vouloir m'acharner à prouver que f était bijective directement et qu'il était plus simple de montrer qu'elle était à la fois injective et surjective.
Et sinon la première partie du raisonnement est-elle correcte?

Encore merci minotaure

Bonjour Serphone;
on peut parfois éviter la double inclusion en montrant carrément l'égalité par équivalence successives mais il faut faire attention en s'assurant à chaque symbole de la validité de la réciproque je m'explique:
ici on peut écrire,
()()
(c'est bien une équivalence,les deux sens sont valides)
et comme on sait que est bijective, n'a pas d'autres antécédents autre que ce on peut donc poursuivre en écrivant,
(noter la possibilité de retour)


ainsi on peut affirmer maintenant que:

pour la réciproque je crois qu'il vaut mieux ici montrer successivement la surjectivité et l'injectivité de :
surjectivité
d'où
injectivité
soient deux éléments distincts de on peut écrire,
donc donc donc
Voilà,j'espére que c'est assez clair.
Sauf erreur bien entendu

C'est très clair, merci beaucoup.
Pour l'équivalence, mon prof est assez pointilleux sur son utilisation (et il a raison je trouve :p) donc je n'ose pas trop l'utiliser sauf dans des cas qui me semblent évident, c'est pour ça je trouvais la double inclusion plus "prudente", maintenant c'est vrai que l'équivalence est beaucoup plus courte ici

Cependant j'aimerais quand même avoir un avis sur ma double inclusion, histoire de savoir si je commence à avoir le coup ou pas du tout ^^

Merci encore de me consacrer du temps

Oui Serphone,ton raisonnement est correct:c'est un peu long mais juste.