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bloqué sur un tout petit exo sur les fonctions
Bonsoir,
Je ne vois vraiment pas comment traiter cet exercice. Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment formidable !! Merci d'avance.
"Soit une fonction continue sur
. On suppose qu'il existe un réel
tel que :
.
1. Montrer que f est strictement monotone.
2. On suppose pour cette question que f est croissante. Montrer par comparaison que f admet (resp.
) pour limite en
(resp.
), et conclure.
3. Traiter pour finir le cas où f est décroissante."
:D
:?
Bonsoir,
suppose le contraire alors il existe x et y tel que f(x)=f(y) avec x different de y ce qui mene à une contradiction.
Je parlais pour la a), si ta fonction n'est pas monotone elle va revenir en un point fais un dessin donc alors on aura f(x)-f(y)=0 ce qui sera en contradiction avec le fait que a est strictement positif.
je regarde ca demain là je suis un peu crevé.
Merci en espérant te revoir demain... (ce sera plutot en fin d'après midi que je me pencherais sur le problème à cause des cours).
Bonjour,
Je propose pour la 1. :
"Montrons par l'absurde que est strictement monotone :
Supposons que n'est pas strictement monotone, donc il existe
avec
tels que :
On a alors :
c'est-à-dire :
On a alors d'après la définition de l'inégalité suivante :
Or on a choisit , donc a fortiori :
.
On en déduit donc que : .
IMPOSSIBLE !! Car .
est donc strictement monotone.
Par contre pour la 2. je ne vois pas comment faire !
ah oui d'accord je comprends c'est parce qu'en fait dans ma tête n'était pas fixe !
par contre pour est-ce qu'il faut poser
et ainsi on obtient :
Le membre de droite tendant vers , plus particulièrement
, on a donc par comparaison
tend vers
en
.
est-ce correct ?
Que conclure ?
Merci d'avance.
est-ce que ce serait pas en rapport avec la bijectivité car on a la monotonie et les limites aux bornes ?
Bonjour a tous,
oue c'est peut etre ca je sais pas.
Sinon pour la 1) il faut justifier un peu je pense quand meme en citant le TVI.
Bonjour,
A quel endroit dois-je mentionner que j'utilise le TVI car là comme ca je voit pas vraiment.
Ensuite pour la conclusion est-ce que avec ce qu'on a on peut en déduire que f est bijective : ou manque - t- il des choses pour obtenir le caractère bijectif ?
Merci d'avance.
Quand on dit que si f n'est pas strictement monotone alors il existe x different de y tel que f(x)=f(y) bon ca parait evident mais ca utilise bien le TVI car sans hypothese de continuité c'est faux.
Oui bien sur une fonction strictement croissante qui tend vers +inf en +inf et -inf en -inf est bijective.
Plus généralement une fonction strictement monotone est bijective sur son image.
Moi j'aurai fait tout simplement pour x>0,f(x)-f(0)>=ax donc f(x)>=ax+f(0) et par comparaison on a le resultat. si x<0 on a f(0)-f(x)>=-ax donc f(x)-f(0)<=ax.
Pour decroissante c'est pareil si x<0 alors f(x)-f(0)>=-ax donc f(x) tend vers +inf en -inf pareil pour l'autre limite.
oui je dois admettre que c'est bien vu !
Merci beaucoup pour toute votre précieuse aide et bonne soirée !
en fait il me reste une toute petite question : est-ce que la bijection découle du TVI ? (pour les justifications).
Essaie de l'ecrire si f(x)=f(y) alors x=y a cause de la monotonie d'ou l'injectivité.
Soit y dans R. Alors comme f tend vers l'infini en +inf alors il existe x1 tel que f(x1)>y. De meme il existe x2 tel que ...puis TVI.
Ca doit etre un theoreme dans ton cours non?
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