Bonjour,

la frontière (ou le bord) d'un sous-espace topologique est, par définition, son adhérence privée de son intérieur.

Ensuite je vois que ton ensemble S est une partie d'un espace vectoriel en fait!

Est-ce un evn ou juste un espace vectoriel topologique?

L'assertion proposée est clairement fausse si les vecteurs Vi forment une famille liée (dans R² le plan usuel d'origine O, considérer trois points A,B,C alignés et deux à deux distincts, et un point D non aligné avec A,B,C.

Alors le barycentre de (A,0);(B,1);(C;1),(D;1) n'est pas sur le bord de S, pourtant l'un des coefficients est nul.

On traduit ce contre-exemple en vectoriel en considérant des vecteurs d'origine O.

Bonjour Tigweg.

Effectivement tu as raison mais dans ce problème les vecteurs Vo,...,Vn sont en position générale, c'est-à-dire que Vo-Vn,...,V(n-1)-Vn sont linéairement indépendants.

Je pensais me rattacher à l'application un homéomorphisme pour avoir les proprités topologiques plus facile à déduire. J'ai montré que:

U={(to,...,tn), ti>=0, to+...tn=1}

f :      U     ->        S
   (to,..,tn) |-> toVo+...+tnVn  était un homéomorphisme.

Je pense donc qu'il faut s'intéresser au bord de U car f envoie les points du bord de U sur le bord de S. Avec S = {toVo+...+tnVn, ti>=0, to+...tn=1}.

En tout cas merci d'avoir déjà essayer de m'aider.

En effet, c'est une bonne idée ça!

Du coup l'adhérence a pour image l'adhérence, l'intérieur a pour image l'intérieur, donc le bord a pour image le bord!

Reste à se convaincre que le bord de U est bien l'ensemble des (n+1)-uplets (t0,...tn) tels que l'un au moins des ti soit nul.

En fait je me rends compte que bord et frontière ne sont pas toujours la même notion!

Exemple, un triangle T dans l'espace usuel de dimension 3 a pour frontière lui-même puisqu'il ne contient aucun ouvert de l'espace.

En revanche, ce qu'on a envie d'appeler son bord serait plutôt la réunion de ses côtés...
qui coïncide avec la frontière du triangle lorsqu'on le voit comme partie d'un sev de dimension 2 de R³!

Du coup il faudrait appeler bord d'un sous-ensemble T d'un sea F d'un ev E la frontière de T dans E (en choisissant pour F le sea de dimension minimale de E qui contient T bien sûr).

Avec ces conventions, le sea F a ici pour équation t0+t1+...+tn=1.

Il est à peu près clair que si l'un des ti est nul, tout ouvert de F contenant (t0;...ti;...tn) rencontre l'intérieur et l'extérieur de U, et que si aucun des ti ne l'est, il existe un ouvert contenant (t;...ti;...tn) et inclus dans U, ce qui me semble concluant.

Deux petits correctifs, je me rends compte que j'ai fait deux erreurs typographiques qui peuvent nuire à la clarté de ma réponse:

on retrouve un des gros problèmes de vocabulaire:
une courbe fermée du plan définit un intérieur et un extérieur, tel en est pour le cercle et le triangle, mais il y a une nuance: l'intérieur du cercle s'appelle disque alors que l'intérieur du triangle s'appelle triangle

donc on parle de longueur d'un cercle qui est aussi le périmètre de disque (une surface) alors que pour triangle on dit toujours périmètre ce qui sous-entend une surface

Bonjour à tous.

Voilà comment j'ai montrer que p € bd(S) <=> il existe i tel que ti=0.

Soit p=f(q). Donc il faut que je montre que q € bd(U) <=> il existe i tel que ti=0. (q=(to,...,tn)).

<= :

q=(to,...tn) tel qu'il existe i tel que ti=0.

Soit W un ouvert de R^(n+1) tel que q € W. Donc il existe r>0 tel que q c B(q,r).

Or B(q,r) n'est pas inclus dans U. Donc tout ouvert de R^(n+1) contenant q n'est pas inclus dans U. Donc q € bd(U).

B(q,r) n'est pas inclus dans U car :

x(to,...,t(i-1),-r/2,T(i+1),...,tn) € B(q,r) car d(q,x)=r/2 < r mais x n'appartient pas à U

Bonjour à tous.

En fait j'ai trouvé une autre démonstration.

Soit A = {toVo+...+tnVn, ti>0, to+...tn=1}. A est un ouvert de S pour la topologie induite.

Pour montrer que Int(S)=A, il faut que je montre que A est la plus grande sous-partie ouverte.

Soit Uj = {toVo+...+tnVn, il existe j tq tj=0, to+...tn=1}.

On peut voir que S = [union (Uj)]union [A].

Or soit p € [union (Uj)]. Donc p=toVo+..+t(i-1)V(i-1)+t(i+1)V(i+1)+..+tnVn. Supposons qu'il existe r>0 tel que pour tout x € B(p,r), x € [union (Uj)]. Soit
x=toVo+..+t(i-1)V(i-1)+-r/2+t(i+1)V(i+1)+..+tnVn € B(p,r) car d(p,x)=r/2 < r mais x n'appartient pas à [union (Uj)].Donc [union (Uj)] n'est pas un ouvert.

Donc A est le plus grand ouvert de S. Donc int(S)=A. et donc bd(S)=[union (Uj)].
Je pense que c'est bon non?

Bonjour,

A n'est ni ouvert ni fermé: si t0+...+tn=1, dans tout voisinage du n-uplet (t0,...tn) il y a des n-uplets dont la somme des composantes ne vaut pas 1.