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borne atteinte

Posté par
aya4545 27-12-22 à 15:30

bonjour
prière m aiguiller pour achever cet exercice
Soit f : \R^+  \rightarrow \R continue admettant une limite finie en + \infty.
1)Montrer que f est bornée.
2)montrez que f atteint au moin l une de ses bornes

Notons \ell la limite de f en +\infty:
\forall \epsilon > 0 \quad \exists A \in \R \\ \quad x>A \Rightarrow |f(x)|-|\ell| \leq| f(x)-\ell| \leq \epsilon.
Fixons \epsilon = +2,  \exists A>0  tel que
pour x>A, |f(x)| \leq |\ell| +2.

donc  f est bornée  au voisinage de +l infini

La fonction f est continue sur l'intervalle fermé borné [0,A],
donc f est bornée sur cet intervalle: il existe M tel que
pour tout x\in [0,A], f(x) \leq M.
En prenant M' = \max (M,|\ell|+2), nous avons  pour tout x\in \R^+,
|f(x)| \leq M'. Donc f est bornée sur \R^+.






posons M_1=\sup f_{\R^{+} supposons que M_1>0 et montrons que M_1 est atteinte
\ell la limite de f en +\infty:
\forall x \in [0; +\infty[ \quad  |f(x)|\leq M_1\implies |\ell|\leq M_1
\forall \epsilon > 0 \quad \exists A \in \R \\ \quad x>A \Rightarrow  \leq |f(x)| \leq |\ell| + \epsilon.
en particulier pour \epsilon =\frac {M_1-|\ell|}2
ce qui donne
\forall x>A \quad  |f(x)| \leq \frac {M_1+|\ell|}2.
sur [0;A] f est continue donc bornée et atteind ses bornes
donc il existe M'>0 \quad M=\sup f_{[0A]}=f(c)
M_1=\sup f_{\R^+}=\max \{M';\frac {M_1+|\ell|}2} \}
il est clair que \max \{M';\frac {M_1+|\ell|}2\}=M' puisque M_1>\frac {M+|\ell|}2}
donc M_1=M'=f(c)
je suis coincé dans le cas  M_1=0 et M_1<0

Posté par
carpediemre : borne atteinte 27-12-22 à 16:28

salut

tu te compliques bien les choses :

si f est continue et de limite L en +oo alors :

a/ il existe A tel que x > A => |f(x) - L| < 1 donc f est bornée sur l'intervalle [A, +oo[

b/ f est bornée sur le compact [0, A]


pour 2/ quelques dessins expliquent la situation ...

d'après 1/ et les hypothèses non seulement f est bornée mais f atteint aussi ses bornes

en particulier en posant g(x) = |f(x)| alors g est aussi continue et est tout autant bornée que f et atteint tout autant ses bornes que f donc g admet un maximum local m

donc f admet un extremum local qui vaut m

il suffit alors de conclure suivant le signe de m et la comparaison de m et L et f(0) ...

et de plus il est évident que si f est monotone alors cet extremum est f(0) ...

Posté par
aya4545re : borne atteinte 27-12-22 à 16:44

merci carpediem

carpediem @ 27-12-2022 à 16:28

salut



d'après 1/ et les hypothèses non seulement f est bornée mais f atteint aussi ses bornes


la fonction f(x)=\frac 1{x+2}  est continue sur R+ et \lim f(x){x\to +\infty}=\frac 12 lafonction f n atteint pas la borne \frac 12

Posté par
carpediemre : borne atteinte 27-12-22 à 17:17

mais 1/2 n'est pas une borne de f !!

une borne de f est son maximum ou son minimum (ou les deux)

enfin si 1/2 est une borne de f !!

f(0) = ... ?

et d'autre part es-tu sûr de la limite de f en +oo ?

Posté par
carpediemre : borne atteinte 27-12-22 à 17:18

carpediem @ 27-12-2022 à 16:28

pour 2/ quelques dessins expliquent la situation ...

d'après 1/ et les hypothèses non seulement f est bornée mais f atteint aussi ses bornes

en particulier en posant g(x) = |f(x)| alors g est aussi continue et est tout autant bornée que f et atteint tout autant ses bornes que f donc g admet un maximum local m

donc f admet un extremum local qui vaut m

il suffit alors de conclure suivant le signe de m et la comparaison de m et L et f(0) ...

et de plus il est évident que si f est monotone alors cet extremum est f(0) ...

Posté par
aya4545re : borne atteinte 27-12-22 à 18:51

je suis tellement fatiguée  et je  raconte n importe quoi
ce qu il me faut pour l instant c est une petite dose de repos

Posté par
aya4545re : borne atteinte 28-12-22 à 11:20

Bonjour
merci carpediem
je reprend l exemple d hier f(x)= \frac1{x+2}  est continue sur [0,+\infty[ et \lim f(x)_{x\to +\infty}=0
on a \inf f =0 mais 0 n est pas atteint
\sup f_{\R^+}= \max f_{\R^+}=f(0)=\frac 12 ( le sup est donc atteint)



d apres 1) f est bornée sur _\R^+ donc f admet un sup et un inf

**si \sup f_{\R^+}= \inf  f_{\R^+} alors \forall x \in \R+ \\       \inf f \leq f(x) \leq \sup f   \implies f(x)=\inf f=\sup f  \forall x \in \R^+ dnc f est constante et atteint ses bornes

**si f est monotone alors f(0)=\sup f  \text {ou}  \inf f  =f(0)
**si \sup f_{\R^+}>\inf  f_{\R^+}
\forall x \in [0; +\infty[ \quad  f(x)\leq \sup f\implies \ell\leq \sup f

j ai traité plusieurs cas et la conclusion est que l une des bornes est atteinte mais pas obligatoirement les 2

Posté par
carpediemre : borne atteinte 28-12-22 à 11:56

oui il faut comparer d'une part : f(0), sup f et L et d'autre part f(0), inf f et L

suivant leur ordre au moins un parmi le sup ou l'inf est atteint avec les (sous-) cas particuliers où f(0) est l'inf ou le sup (par exemple dans le cas où f est monotone)

Posté par
aya4545re : borne atteinte 28-12-22 à 12:23

rebonjour
on a  \forall x \in [0; +\infty[ \quad  f(x)\leq \sup f\implies L\leq \sup f
si L=sup f \implies L\neq inf f puisqu on a supposé que sup f \neq inf f
           si f(0) \leq L alors l inf est atteint le sup peut etre ou pas atteint (suivant  le cas  )
          si f(0) \geq L alors le sup est atteint mais  l inf  peut etre ou pas atteint (suivant  le cas  )

Posté par
aya4545re : borne atteinte 28-12-22 à 12:29

si L=inf f \implies L\neq sup f puisqu on a supposé que sup f \neq inf f
f(0) obligatoirement \geq  L et donc  le sup est atteint mais  l inf  peut etre ou pas atteint (suivant  le cas  )

Posté par
aya4545re : borne atteinte 28-12-22 à 12:37

si L\neq inf f    et      L\neq sup f
si inf f  <f(0)< L alors l inff est atteint le sup f peut etre ou pas atteint (suivant  le cas  )
si L\leq f(0) <sup falors le supf est atteint mais  l inf f peut etre ou pas atteint (suivant  le cas  )

Posté par
carpediemre : borne atteinte 28-12-22 à 13:42

oui c'est ça ...

Posté par
aya4545re : borne atteinte 28-12-22 à 14:35

merci carpediem et bonne journée

Posté par
carpediemre : borne atteinte 28-12-22 à 14:57

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