Bonjour

Je n'ai pas compris qu'était , mais est minoré par 0... Si tu as des raisons de penser qu'il est non vide...

f est une fonction continue dans R vérifiant f(0)=1 et f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).
f est paire et f est non identiquement nulle.
0 ne minore pas car f(0)=1 c'est ce que je devais montrer à la question précédente .

Par ailleurs 0 n'est pas strictement supérieur à 0.

Et je dois démontrer que l'ensemble A admet une borne inférieur que l'on notera par la suite a.
Donc, il faut montrer qu'il en existe une et non la déterminer ...
Je me suis peut être mal exprimée précédemment .

Bonjour

Donc tu veux démontrer que

> 0,

x A (donc f(x) = 0) tel que x <

si tu prends y = -x, tu démontres alors que la moitié de tout élément de A est dans A

Tu ne devrais plus être très loin de la conclusion

ou bien?

Montre que f est convexe .

Et la remarque de Camélia est plutôt judicieuse ... à partir du moment où x et réel et A non vide ...

J'ai quelques petits problèmes avec vos réponses !

(1) Nous n'avons pas vu ce qu'était une fonction convexe ... (kybjm)

(2) La borne inférieure d'un ensemble appartient forcément à celui-ci, Or 0 n'appartient pas à A (Camélia)

(3) PerArGal pourrait tu expliciter " si tu prends y = -x, tu démontres alors que la moitié de tout élément de A est dans A "
    Je prend y=-x et après ? y n'appartient pas à A car y<x et non le contraire.

Oh non! la borne inférieure d'un ensemble n'appartient pas forcément à celui-ci! C'est quoi ?

Et pourquoi penses-tu que ?

Ah oui c'est le plus grand des minorants c'est vrai ! Cependant 0 ne minore quand même pas car f(0)=1. On a pas f(0)=0.
Les questions de la suite de l'exercice laisse à penser que a appartient à A car on nous demande de montrer que f(a)=0 et déduire que a>0.

Ah d'accord, je ne voyais pas ça comme ça ! Donc, 0 minore bien A.
Mais on me demande de montrer que A admet une borne inférieur que l'on notera a.
et a n'est pas égale à 0 car on me dit de montrer que f(a)=0 et f(0)=1.
Je reviens donc à ma question initiale :

Comment montrer que A admet une borne inférieur ?

Et si tu lisais ce qu'on t'écrit!

Je te rappelle quand même le théorème de la borne inférieure, outil absolument fondamental pour ce genre d'exercices (que tu as certainement vu en cours !) :

Oui c'est vrai tu as raison !

Moi, j'ai hâte de savoir à quoi sert de démontrer que A a une borne inférieure ... il y a un "petit b" dans le problème?

Car le théorème exhibé par Camélia et Ovn est tellemen immédiat qu'il en est furstrant ...

On va avoir du mal à montrer que A est non vide...

vérifie toutes les hypothèses données par Yamashita, et ne s'annule jamais...

@ovn
Sans connaître le début de l'énoncé je pense que la question de savoir si A peut être vide n'a pas trop de sens ... Et je pense que l'on veut au b) "nous" faire démontrer que la borne inf est 0 ... quel suspens!  

Et d'ailleurs, rien ne nous dit que f est continue ... peut être même que l'ensemble de définition n'est pas mais
Je crois que nous pouvons conjecturer pendant longtemps ... Et, avec le sentiment du devoir accomlpi, laisser Yamashita décider si A = est plausible

Ah ah me revoilà ! J'ai relu tous vos conseils tranquillement après m'être changer les idées et j'ai réussi a terminer cette exercice.

Le but de l'exercice était de déterminé l'ensemble des fonctions appartenant à un sous ensemble de E={fR/x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)}

On a d'abord étudier cet ensemble dans une première partie puis dans une seconde on s'est plutôt intéressé au second.

1. Montrer que f(0) = 1, et que f s'annule au moins une fois sur R+*
2. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on note a.
3. Prouver que f(a) = 0. En déduire que : a > 0.
4. Montrer que : x [0;a[ ; f(x) > 0.

Puis d'autre question où l'on devait démontrer certaine égalité pour déduire l'ensemble des fonctions f appartenant au sous ensemble ^^

Pour ce qui est de notre question, j'ai répondu ceci:

E est une partie non vide de R (d'après la question précédente) et est minorée (par 0). Donc E admet une borne inférieure
que l'on note a.

Voilà merci beaucoup !

Bonsoir,
avec les hypothèses données