1 par récurrence

pourquoi 1 ?

bonsoir
parce que ?

mais ton énoncé est imprécis : qu'est-ce qui varie et qu'est ce qui est fixé dans cet ensemble ? l'ensemble dépend de n ? ou bien il peut y avoir des produits de sommes de 1, 2, 3, ..., 12, .. termes dans le même ensemble ?

Oui l'ensemble dépend de n!

Voila une meilleure écriture de l'ensemble:

Bonsoir,
ce n'est pas vraiment une meilleur écriture de l'ensemble.

Ce que te demande  lafol (que je salue) c'est le morceau de l'énoncé qui est avant.

Et qui doit être quelque chose du genre : on donne un entier n1, déterminer en fonction de n la borne inférieure de l'ensemble...  pour x1,x2,... ℝ*+

Au passage l'image que tu donnes n'est pas une écriture très correcte si on veut pinailler un peu.

Pour le résultat : la borne inférieure respecte les symétries de l'ensemble.

salut

la fonction est symétrique en les x_{_i}

je parie que son minimum a lieu lorsque les x_i sont égaux et alors ce minimum est n²

....

Et si on n'aime pas parier, la démonstration est assez facile en supposant les ordonnés.

on peut remarquer aussi que la fonction inverse est convexe donc :



....

Moi je trouve n

Non non c'est n²

Si b_n est la borne inférieure cherchée pour n valeurs de x

b_n+1 = (1 + 2b_n)²

b₂ = (2+1)² = 9 ...

Erreur: il faut ôter le coefficient 2, donc c'est bien les carrés des entiers.

une première idée ::

en notant m et M le minimum et le maximum des x_i







donc


damned ça ne marche pas ...



une autre idée ::

la fonction f(x) = x + 1/x admet le minimum 2 en 1




chouette ça marche ....

une autre méthode :

il suffit d'ordonner les x_i ... alors les 1/x_i sont dans l'autre ordre ...

et on applique

que je viens de découvrir ...

@jojoxxp4, l'inegalite de Cauchy-Schwarz est-elle prohibee ?

C'est un peu dommage que LaTeX ne fonctionnais pas sur le site, alors j'ai du le faire sur Word avec formules que j'ai fait sur un autre site. Ci-après le résultat.

il me semble que n(n+1)/2 n'est qu'un minorant de l'expression ...

On peut montrer par récurrence que pour tout entier n > 0 on a : x ₊*ⁿ : ( x_k)( 1/x_k) n² .

C'est bien vrai à l'ordre 1 .
Supposons que ce le soit pour un certain entier n > 0.

Soient  x ₊*ⁿ et t > 0 . On pose s = x_k .
1/x_k n²/s donc ( x_k + t)( 1/x_k + 1/t) (s + t)(n²/s + 1/t) = n² + 1  + (s/x + n²x/s) .

Comme u + n²/u 2n pour tout u > 0 on obtient ( x_k + t)( 1/x_k + 1/t) n² + 1 + 2n = (n + 1)² .
C'est donc encore vrai pour n + 1 et donc tout le temps .

La deuxième méthode de carpediem Posté le 20-07-14 à 11:51 est la meilleure méthode.

fonctionne tout à fait bien sur le site ....

@lafol
Mais le soir ne fonctionnait pas car Tom_Pascal faisait des travaux. Depuis ce matin, c'est bon.