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Borne inférieure d'une intégrale.
Bonjour/Bonsoir,
On me demande de déterminer la borne inférieure de l'intégrale suivante:
Quand u décrit l'ensemble des fonctions C2 de [0,1] dans IR qui s'annulent en 0 et qui prennent la valeur 1 en 1.
Ma première idée, assez naïve a été d'essayer de faire tendre la partie en u² vers 0, cela fait bien sûr augmenter brutalement la deuxième partie pour que u atteigne 1, donc 1 ne me semble pas être l'inf.
Une idée plus intéressante consiste à mon humble avis à écrire:
Et à essayer de minorer cette quantité en posant
Cette fonction est dérivable et sa dérivée est.
D'où puis
Hors
Reste à montrer que est bien borne inf de
pour cela je pense qu'il doit suffire de prendre g' de manière à ce qu'elle soit bien concentrée en
près de
et nulle après, ainsi l'intégrale de g' sera de
et notre intégrale tendra aussi vers cette valeur car près de
est proche de 1.
Cependant, je n'ai pas utilisé l'hypothèse C2 
, donc ma "solution" un peu à la va-vite de nuit est probablement fausse.
Merci d'avance pour vos conseils.
c'est un exercice d'oral de concours de prépa, plus précisément, c'est l'exercice 60 du pdf suivant: https://www.rms-math.com/images/stories/documents/exosRMScorriges-2016.pdf
J'ai bien compris que c'est une borne inférieure qui est demandée 
Je voulais simplement montrer que ton idée donne un tout petit quelque chose : 1 est mieux que 0 .
Et inutile de chercher une borne inférieure plus petite que 1 .
Bonjour,
est une égalité atteinte pour u vérifiant u=u' sur [0,1] donc u(x)=Cexp(x) sur [0,1]. Peut-être peux-tu construire une suite d'éléments de fonction
de classe C² tels que
convergeant vers u.
De façon plus naïve, on cherche donc à construire une telle suite de fonctions ce qui serait facile avec juste de la continuité en prenant des affines par morceaux valant 1 partout sauf en 0 (le raccord étant de plus en plus proche de 0) mais on cherche C². En réalité, on peut même faire via les fonctions plateaux à support compact de classe
. Que penses-tu de
sur
et
sur
?
C'était ma deuxième tentative, le problème étant qu'en faisant ainsi, sur presque tout l'intervalle ( en augmentant n ) notre fonction devra prendre la valeur 1, et sa dérivée la valeur 0 et donc la différence au carré entre les deux va être de 1, ainsi l'intégrale va tendre vers 1 ce qui donnera I=2 ce qui n'est pas très bon.
Donc j'ai plutôt décidé d'essayer de minimiser (u(x)-u'(x)) en moyenne au lieu de l'annuler ce qui m'a orienté dans l'étude de la fonction du premier message et qui m'a sauf erreur permis de conclure que I ne pourra pas aller en dessous de 1 +e^(-2). C'est plus le fait que je n'ai nulle part utilisé l'hypothèse u est C2 qui me dérange.
Bonsoir !
Une idée non finalisée...
En considérant on a, par résolution d'équation différentielle,
.
Il s'agit alors de minimiser le carré scalaire avec la contrainte
(produit scalaire de
et exponentielle de valeur fixée).
D'après la relation de Schwarz ce minimum serait obtenu lorsque
est colinéaire à
Merci du retour éventuel...
@FaresDjer : certes, mais si u=1 presque partout, donc u'=0 presque partout, vaut bien 1²+0²=1 donc nos arguments se valent. Par contre, la suite de fonction que je propose n'est pas C². Et Luzak m'a convaincu...
@Luzak : ça me semble fini : on a alors . La condition
impose
puis
. Le minimum de I vaut
. Et comme j'étais persuadé que ce minimum valait 1, j'étais bien mal parti
Par contre, pas de moins dans la résolution de l'équa-diff :
Merci Alexique et bonjour !
J'avais pris et changé au dernier moment en
et n'avais pas eu le temps de vérifier...
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