Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour la compréhension de la correction d'un exercice sur les bornes sup et bornes inf. J'ai tout compris, excepté quelques détails de la dernière question :

Soient  A ⊂ ℝ et  B = { −x; x ∈ A} 1.  Montrer que  B  est  minoré  si  et  seulement  si  A  est  majoré.

FAIT et correction comprise.

2.  En supposant  que  A  est  majoré, démontrer que  B  admet  une  borne  inférieure  et  que inf(B) = −sup(A)

Je n'ai pas compris quelques détails de la correction du 2) :


.2.  Si  A  est  majoré,  A  admet  une  borne  supérieure  sup(A)  et  d'après  le  1.  B  est  minoré  et  donc  admet une  borne  inférieure  inf(B).

Pour tout  M  un majorant  de  A  :  sup(A) ≤ M

D'après  1.  -M  est  un minorant  de  B  :  −M ≤ inf(B)

On en déduit  que  pour  tout  M, majorant  de  A:  −inf(B) ≤M, cela  entraine  que −inf(B) ≤ sup(A)

De  même  pour  m  un minorant  de  B  :  m ≤ inf(B)

D'après  1,  -m  est  un majorant  de  A  :  sup(A) ≤ −m.
On en déduit  que  pour  tout  m, minorant  de  B:  sup(A) ≤ −m, cela  entraine  que sup(A) ≤ −inf(B)

Donc  sup(A) = −inf(B) ⇔ inf(B) = −sup(A)

Je n'ai pas compris pourquoi quand on trouve sup(A)≤M et -inf(B)≤M on peut en déduire que -inf(B)≤sup(A).
Pareil lorsque l'on a m≤inf(B) et sup(A)≤-m et que l'on déduit que sup(A)≤-inf(B).
Merci beaucoup !