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Borne supérieure d'une somme de fonctions
Bonjour à tous,
Alors voici l'énoncé :
On considère deux fonctions f et g définies sur un intervalle I de 
et à valeurs réelles, majorées sur I, et 
un réel quelconque. Comparer sup(f+g) avec sup(f)+sup(g), et sup(f) avec sup(f) lorsque ces quantités sont bien définies.
Déjà, j'ai justifié l'existence de sup(f) en considérant l'ensemble A={f(x)/x
} qui est non vide (car I est non vide) et majoré par la constante qui majore f. Il en va de même pour sup(g), sup(f+g) et supf).
Je ne sais pas trop comment faire pour comparer les quantités, à part écrire la caractérisation de la borne supérieure... Il me semble clair que sup(f+g)
sup(f)+sup(g) mais le montrer est une autre histoire :/
Je vous remercie de votre aide!
Si je ne m'abuse, la démonstration qui suit devrait marcher.
Soit un réel x.
On a f(x) « sup(f)
g(x) « sup(g)
Donc en sommant f(x)+g(x)«sup(f)+sup(g) et ce pour tout x, donc "en passant à la borne sup" on a bien sup(f+g)«sup(f)+sup(g).
Bonjour
La meilleure caractérisation dans ce genre d'exercices est de dire que la borne supérieure est le plus petit des majorants.
Alors pour ne pas te laisser perdre trop de temps... Que se passe-t-il si ? Et si
?
Merci pour vos réponses rapides !
La caractérisation de la borne sup de f me permet de dire :
i) x
, sup(f)
x" alt="
x, sup(f)x" class="tex" />
ii) 
>0, 
x I, f(x)>sup(f)-
Je ne vois pas comment manipuler cela ...
Merci pour vos réponses rapides !
La caractérisation de la borne sup de f me permet de dire :
i) x,f(x)sup(f)
ii) >0, xI, f(x)>sup(f)-
Je ne vois pas comment manipuler cela ...
Eh bien, Erevan t'a donné la méthode pour montrer que . Puisque
est un majorant et que
est le plus petit...
Ah oui effectivement pardon, j'ai compris maintenant!
Merci 
Ensuite, pour comparer sup(f) et sup(f), il me semble que si 0, alors sup(f) = sup(f)
Dans le cas ou <0 je ne vois pas trop comment procéder...
Pour c'est vrai que
Je ne sais pas trop ce qu'on attend pour , il peut arriver à peu près n'importe quoi!
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