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Bornes sup et inf()

Posté par
Crei 01-11-22 à 20:10

Bonjour besoin d'aide

Determiner s'il existe les borne inf,sup, le max et le min des ensembles.

g)Soit p+*. On pose E1={Aire(T): T est un triangle de perimetre p}

h)E_{2}=\left\{ \left( \frac{a+b}{a+b+c}\right)^{\frac{1}{2}}+\left( \frac{a+c}{a+b+c}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{b+c}{a+b+c} \right)^{\frac{1}{2}}\right\} a,b,c*+

g) j'ai fait de la litterature , un triangle non applati peut etre aussi petit que l'on veut donc inf(E)=0 et pas de majorant
Raisonnement possible??

f)ici je me suis juste arreté à demontrer l'existe de la borne sup et inf
en remarquant que le denominateur est plus grand le denominateur , on
0<x<3,xE
La j'ai fixé deux des variable et calculer la limite en l'infini je trouve 2 .
Puis je affirmer que 2 est la borne sup(),?
Il me manque des arguments.
Comment trouver la borne inf

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 20:37

salut

il est évident que si le périmètre d'un triangle est constant alors son aire est majorée ...

par simple découpage suivant une hauteur tu peux te ramener à un rectangle (c'est d'ailleurs cette propriété qui permet de déduire l'aire d'un triangle à partir de celle d'un rectangle


pour h on peut remarquer que (a + b)/(a + b + c) = 1 - c/(a + b + c)

sinon s^2 = \left[ \left( \dfrac {a + b} {a + b + c} \right)^{\frac 1 2} + \left( \dfrac {a + c} {a + b + c} \right)^{\frac 1 2} + \left( \dfrac {b + c} {a + b + c} \right)^{\frac 1 2} \right]^2 = 2 + $ truc avec truc $ \ge 0

ce ui permet de minorer s ...

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 20:52

que se passe-t-il si a = b = c ?

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 20:54

*modération* >citation inutile supprimée*

pour moi le p peut prendre toutes les valeurs de R+*
le majorant n'existe pas donc

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 20:55

carpediem @ 01-11-2022 à 20:52

que se passe-t-il si a = b = c ?

je trouve sqrt(6)

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 20:57

*modération* >citation inutile supprimée*
Or
sqrt( 6)>2

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 21:12

ha oui pardon pour les triangles

Posté par
aya4545re : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 21:14

bonsoir
p=a+b+c d après la propriété de Heron
S=f(p)=\sqrt{\frac p2(\frac p2-a)(\frac p2-b)(\frac p2-c)}
S etant la surface d un tel triangle de périmètre  p
et puis on a  S=f(p)=\sqrt [3]{(\frac p2-a)(\frac p2-b)(\frac p2-c)}\leq  \frac{(\frac p2-a)+(\frac p2-b)+(\frac p2-c)}3 ....donc on peut majorer S

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 21:49

carpediem @ 01-11-2022 à 21:12

ha oui pardon pour les triangles

Un triangle equilaterale
p=3a
Avec h=a×sqrt(2)/2

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 21:51

aya4545 @ 01-11-2022 à 21:14

bonsoir
p=a+b+c d après la propriété de Heron
S=f(p)=\sqrt{\frac p2(\frac p2-a)(\frac p2-b)(\frac p2-c)}
S etant la surface d un tel triangle de périmètre  p
et puis on a  S=f(p)=\sqrt [3]{(\frac p2-a)(\frac p2-b)(\frac p2-c)}\leq  \frac{(\frac p2-a)+(\frac p2-b)+(\frac p2-c)}3 ....donc on peut majorer S


Desole du derangement , j'suis 1 année de prepa , j connais pas encore Heron , est ce possible une preuve? Ou explication

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 21:53

aya4545 @ 01-11-2022 à 21:14

bonsoir

S=f(p)=\sqrt{\frac p2(\frac p2-a)(\frac p2-b)(\frac p2-c)}



Est racine cubique ou carré?

Posté par
aya4545re : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 22:03

bonsoir
c est une racine carré
dans la derniere ligne j ai utilisé l inégalité arithmetico-geométrique
\sqrt[3]{xyz} \leq \dfrac{x+y+z}3    \forall  x ; y  ;z  \in \R^+

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 22:06

*modération* >citation inutile supprimée*
Ah d'accord
par rapport à Heron..

Posté par
aya4545re : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 22:07

voir
egalité de Heron

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 23:25

Crei @ 01-11-2022 à 20:54

pour moi le p peut prendre toutes les valeurs de R+*
finalement je pense que non !!

et que p est une constante fixée strictement positive ...

sinon si le périmètre varie de 0 à +oo alors il est évident que l'aire varie de 0 à +oo

et si p est constant alors l'aire atteint un maximum (lorsque le triangle est équilatéral)

Posté par
aya4545re : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 23:31

S²\leq \dfrac {p^4}{2^{4 } \times 27} et par suite S\leq \dfrac{p² \times \sqrt 3}{12}
  remarquons que \dfrac{p² \times \sqrt 3}{12}=\dfrac{a² \times \sqrt 3}{4} surface d un triangle equilateral de coté a
donc\dfrac{p² \times \sqrt 3}{12} est un plus grand element de E_1

Posté par
aya4545re : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 23:37

oui carpediem  avec p reel positif fixé

Posté par
aya4545re : Bornes sup et inf() 01-11-22 à 23:41

je m excuse il ya une coquille dans mes calculs

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 07-11-22 à 20:18

*modération* >citation inutile supprimée*

Merci pour l'aide j'etais carrement dans l'herbe.

Qu'en est il du h , j'ai remarque q si a=b=c alor on a sqrt(6)

Je souhaite montrer que c'est la borne sup et le max

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 07-11-22 à 20:43

pourquoi citer inutilement le msg précédent ...

Crei @ 07-11-2022 à 20:18

Qu'en est il du h , j'ai remarque q si a=b=c alor on a sqrt(6) plutôt on t'a fait remarquer que !!!

Je souhaite montrer que c'est la borne sup et le max ça m'étonnerait :
que vaut s(a, 0, 0) ?   (voir à 20h37)

remarquer aussi que  s = \sqrt {1 - \dfrac c {a + b + c}} + \sqrt { 1 - \dfrac b {a + b + c} } +\sqrt {1 - \dfrac a {a + b + c}

que se passe-t-il si a, b, c tendent vers 0 ?

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 07-11-22 à 23:52

*modération* >citation inutile supprimée*

Les trois en meme temps vers 0?? Ou je fixe deux et je regard l'autre

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 07-11-22 à 23:56

S(a,0,0)=2

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 08-11-22 à 08:42

a,b,csont non nuls

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 08-11-22 à 18:00

s(a, 0, 0) = s(0, b, 0) = s(0, 0, c) = 2 donc la borne inf est inférieure à 2

s(a, a, a) = 6 donc la borne sup est supérieure à 6

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 10-11-22 à 21:37

carpediem @ 08-11-2022 à 18:00

s(a, 0, 0) = s(0, b, 0) = s(0, 0, c) = 2 donc la borne inf est inférieure à 2

s(a, a, a) = 6 donc la borne sup est supérieure à 6


Bsr les reels a,b,et c sont non nuls
Pourquoi avoir pris la valeur 0
En fait comment je pourrait justifier que l'ensemble est majorer par sqrt(6) et venir à la borne sup si vraie.

Merci

Posté par
carpediemre : Bornes sup et inf() 10-11-22 à 21:56

oui tu as raison ...

interprète s(a, 0, 0) comme la limite de s(a, b, c) avec a constant et b et c tendant vers 0

si 6 est la borne sup alors c'est un maximum puisque il est atteint ...

mais pour l'instant je ne vois pas comment prouver que 6 est un majorant ...

Posté par
Creire : Bornes sup et inf() 10-11-22 à 22:02

Merci pour l'aide .
J'essaie


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