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Bornes supérieures
Bonjour à toutes et à tous.
Je remercie par avance, la personne qui pourra m'aider à avancer dans le raisonnenement suivant
soient E et F deux sous ensembles non vides majorés de R.
- Je dois faire une hypothèse entre sup ( E + F ) et sup E + sup F.
- Je dois démontrer que est un majorant de E + F.
- soit g un nombre inférieur à sup E + sup F, je dois construire un nombre h de E + F tel que g < h < sup E + sup F
- et conclure
je vous souhaite bonne journée et vous remercie de votre aide
Bonjour,
- Je dois faire une hypothèse entre sup ( E + F ) et sup E + sup F.
sup(E + F) = sup(E) + sup(F)
Il faut donc montrer que :
(1) sup(E) + sup(F) est un majorant de E+F
(2) c'est le plus petit
- Je dois démontrer que est un majorant de E + F.
Cela correspond au point (1) ci-dessus. C'est facile à montrer.
- soit g un nombre inférieur à sup E + sup F, je dois construire un nombre h de E + F tel que g < h < sup E + sup F
Cela correspond au point (2) ci-dessus. Pas bien compliqué non plus.
Où en es-tu ?
je dois dire
- le sous ensemble E de R est majoré s'il existe M[E] appartenant à R tel que e < M[E] pour tout e appartenant à E
- le sous ensemble F de R est majoré s'il existe M[F] appartenant à R tel que f < M[F] pour tout f appartenant à F
- les sous ensembles E + F de R sont majorés s'il existe M[E + F] appartenant à R tel que e + f < M[E + F] pour tout e appartenant à E et pour tout f appartenant à F
Est cela ??
par contre pas comment dire que c'est le plus petit
Ce que tu as écris est juste. En fait, tu as juste recopié les définitions.
Maintenant, essaie de résoudre l'exercice en suivant le cheminement proposé. Relis mon message précédent.
je ne vois pas trop comment montrer...
- pour l'ensemble E, on a e <ou = sup E
- pour l'ensemble F, on a f <ou = sup F
- pour l'ensemble E+F, on a e+f <ou = sup E + sup F
d'une part on a: e+f <ou = sup E + sup F
d'autre part on a: e + f < M[E + F]
est ce que je peux conclure que sup E + sup F est un majorant de E + F
est cela?
Tu veux montrer que sup E + sup F est un majorant de E+T.
Comment cela se traduit-il en langage mathématique ? Que faut-il montrer ? (La réponse tient en une ligne)
aie aie aie...
sup E + sup F doit être égal au majorant de E+T est-ce cela ?
Pour montrer que sup E + sup F est un majorant de E+F, il faut montrer que :
pour tout e de E et f de F, e+f =< sup E + sup F
On prend donc un e dans E et un f dans F
On sait que :
e =< sup(E)
f =< sup(F)
----------
(on additionne membre à membre)
e+f =< sup E + sup F
CQFD
Reste à montrer que c'est le plus petit majorant. Utilise le cheminement proposé par l'énoncé.
ok j'avais ecrit cela au dessus
un grand merci pour l'aide da
un grand merci dans l'aide du raisonnement.
soit g < sup E + sup F
et e+f =< sup E + sup F
donc g < e+f
est ce cela ?
ok j'avais ecrit cela au dessus
Désolé, mais ce que tu avais écrit au-dessus n'était pas bien clair. Pour moi, ce n'est pas une démonstration.
soit g < sup E + sup F
et e+f =< sup E + sup F
donc g < e+f
Peux-tu détailler le raisonnement derrière le "donc" de la dernière ligne ?
On veut montrer que sup(E)+sup(F) est le plus petit majorant de E+F.
Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il ne soit pas le plus petit majorant.
Supposons donc qu'il existe un nombre g vérifiant à la fois :
(i) g est un majorant de E+F
(ii) g < sup(E)+sup(F)
sup(E) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 est strictement inférieur à sup(E), donc ne peut pas être majorant de E.
Donc il existe un e de E tel que :
sup(E) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 < e =< sup(E) [1]
sup(F) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 est strictement inférieur à sup(F), donc ne peut pas être majorant de F.
Donc il existe un f de F tel que :
sup(F) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 < f =< sup(F) [2]
On additionne [1] et [2] membre à membre :
g < e+f =< sup(E)+sup(F)
Donc g n'est pas un majorant de E+F
Contradictoire avec (i). Absurde.
CQFD
Sauf erreur.
Nicolas
je pense avoir compris le principe
je n'aurai jamais trouvé sup(E) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2
trop filou pour moi merci
donc pour construire le point h tel que g < h < sup(E)+sup(F), je procède à l'envers du raisonnement précédent
un grand merci
OK J'y suis h est le nombre de E + F
merci pour tout et bonne fin d'après midi
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