Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Boule fermée de rayon minimal dans un compact

Posté par
lrki
03-12-19 à 13:55

Bonjour, voici un exercice de topologie sur lequel je bloque..

On choisit une norme sur $\mathbf{R}$^{p} où p ⩾1. On se fixe K une partie bornée de $\mathbf{R}$^{p} contenant au moins deux points distincts. On cherche à établir l'existence d'une boule fermée de rayon minimal contenant K.

En considérant l'ensemble A = \left\{ R>0,\: \exists a \in R^{p} , K \subset  B_{F}(a,R) \right\}
on montre que A est une partie non vide et possède donc une borne inf r>0.

Comment montrer l'existence d'une suite (an) à valeurs dans $\mathbf{R}$^{p} et d'une suite (rn) telles que r \leq r_{n} < r+ 2^{-n} et K \subset  B_{F}(an,rn) pour tout n ?

Merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 14:48

Bonjour

Je suppose que la définition est
A=\{r > 0|(\exists a\in \R^p)K\subset B(a,r)\}

L'existence de la suite (a_n,r_n) est une conséquence immédiate de la définition de l'inf. r+2^{-n} n'est pas un minorant de A.

Posté par
lrki
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 14:57

Merci pour votre retour

J'ai pu remarquer le lien entre la définition des deux suites et la partie A. Mon problème est davantage dans la rigueur de la rédaction..peut-on affirmer directement que l'existence des suites découle de la définition de A et de sa borne inf ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 14:58

Oui, en écrivant ma dernière phrase.
r+2^{-n} n'est pas un minorant, donc il existe...

Posté par
lrki
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 15:33

Merci!
Il faut alors montrer que (a_{n}) est bornée et en déduire l'existence d'une boule fermée de rayon minimal contenant K
Soit k \in K
Alors pour tout  n on peut écrire
 || a_{n} - k || \leq r_{n} < r + \frac{1}{2}

Puisque   (a_{n}) est bornée dans un evn de dimension finie, elle admet une sous-suite (a_{\varphi (n)}) convergente vers  a\in R^{p}.
Soit  k \in K. En passant à la limite dans l'inégalité ||k-a_{\varphi (n)})|| \leq r_{\varphi (n)}, on trouve  || k-a||\leq r. Ainsi,  A B(a,r) , et cette boule est une boule fermée de rayon minimal contenant K

Le raisonnement est-il correct? J'espère ne pas m'être embrouillée dans les formules en latex.

Il me faut ensuite montrer l'unicité d'une telle boule. Comment procéder?

Posté par
lrki
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 15:36

Oups, erreur : la question est plutôt "a-t-on unicité de la boule?"

Posté par
Camélia Correcteur
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 15:54

Non, on n'a pas unicité. Prends A=\{a,b\} avec ||a-b||=1 et regarde.

Posté par
lrki
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 16:03

Je ne vois pas vraiment..Pouvez-vous détailler s'il vous plaît?

Posté par
jsvdb
re : Boule fermée de rayon minimal dans un compact 03-12-19 à 18:20

Prends dans \R^2 muni de la norme ||.||_\infty, les points (-1,0) et (1,0).
Il me semble que ces points sont dans toute boule de centre (0,t) et de rayon 1 pour t \in [-1,1].
Ce qui fait un paquet de boule.

En revanche, si la norme est lisse, alors oui, il doit y avoir unicité.

On reprend les mêmes points avec la norme  ||.||_2.
Les points sont dans la boule de centre (0,0) et de rayon 1.
Et je crois qu'on ne peut pas faire mieux.

On peut aussi prendre la norme  ||.||_p pour p \in ]1,\infty[



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !