Bonjour, voici un exercice de topologie sur lequel je bloque..
On choisit une norme sur où p ⩾1. On se fixe K une partie bornée de contenant au moins deux points distincts. On cherche à établir l'existence d'une boule fermée de rayon minimal contenant K.
En considérant l'ensemble A =
on montre que A est une partie non vide et possède donc une borne inf r>0.
Comment montrer l'existence d'une suite (an) à valeurs dans et d'une suite (rn) telles que et pour tout n ?
Merci d'avance!
Bonjour
Je suppose que la définition est
L'existence de la suite est une conséquence immédiate de la définition de l'inf. n'est pas un minorant de .
Merci pour votre retour
J'ai pu remarquer le lien entre la définition des deux suites et la partie . Mon problème est davantage dans la rigueur de la rédaction..peut-on affirmer directement que l'existence des suites découle de la définition de et de sa borne inf ?
Merci!
Il faut alors montrer que est bornée et en déduire l'existence d'une boule fermée de rayon minimal contenant
Soit
Alors pour tout on peut écrire
Puisque est bornée dans un evn de dimension finie, elle admet une sous-suite convergente vers .
Soit . En passant à la limite dans l'inégalité , on trouve . Ainsi, ⊂ , et cette boule est une boule fermée de rayon minimal contenant K
Le raisonnement est-il correct? J'espère ne pas m'être embrouillée dans les formules en latex.
Il me faut ensuite montrer l'unicité d'une telle boule. Comment procéder?
Prends dans muni de la norme , les points (-1,0) et (1,0).
Il me semble que ces points sont dans toute boule de centre (0,t) et de rayon 1 pour .
Ce qui fait un paquet de boule.
En revanche, si la norme est lisse, alors oui, il doit y avoir unicité.
On reprend les mêmes points avec la norme .
Les points sont dans la boule de centre (0,0) et de rayon 1.
Et je crois qu'on ne peut pas faire mieux.
On peut aussi prendre la norme pour
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