Bonjour.

Dans un espace vectoriel normé, on définit un ouvert en général en disant que si un point appartient à l'ouvert, alors cet ouvert contient une boule centrée en ce point. Mais la notion de boule dépend bien sûr de la norme que l'on choisit, donc la définition d'un ouvert dépend a priori de la norme choisie. Donc, on ne devrait pas dire qu'un ensemble est simplement un ouvert, mais plutôt qu'il est un ouvert pour une certaine norme.

Ici, on te demande de montrer qu'un ensemble est un ouvert pour N ssi c'est un ouvert pour || ||.

Donc on me demande de montrer que :

x B^N(a,r[ , _x >0 / B^||  ||(x,_x [ B^N(a,r[

et que :

x B^||  ||(a,r[, _x >0 / B^N(x,_x [ B^{|| ||}(a,r[

Pour la première, oui tout à fait.

Pour la seconde, je verrais plutôt :
U ouvert pour la norme N, x dans U, il existe _x>0 tel que B^{|| ||}(x,_x[U
ce qui traduit bien que tout ouvert pour N est un ouvert pour || ||. Et par symétrie, tout ouvert pour || || est un ouvert pour N.

La seconde assertion est donc prouvée lorsque U est une boule ouverte pour N, c'est-à-dire U de la forme U=B^N(a,r[, selon la première proposition. Il faut donc prouver qu'on peut étendre cela à tous les ouverts pour N.