Bonjour,
en TD nous avons montrer que :

Soit un espace vectoriel, soit l'application définie par :
  
la boule unité d'un espace vectoriel est convexe si et seulement si l'application est une norme.

En fait j'ai la preuve en entier mais j'avais fait ceci pour montrer le sens et mon prof m'a dit que c'était faux sans me dire pourquoi :

On suppose convexe et on veut montrer que vérifie l'inégalité triangulaire ( dernière propriété des normes):



comme on a :
, on pose ce qui nous donne d'après la deuxième propriété de

Or comme
alors
donc

donc est une norme .

En fait pour n'importe quel on pourra toujours majorer par 0 et obtenir l'inégalité triangulaire et je crois que c'est le fait de poser qui est faux ?

Merci d'avance pour vos réponses