Bonjour Emilie
Pas de miracle! On regarde chaque cas particulier, on écrit les équations, et... on cherche! Si tu as des cas particuliers, on te donnera les détails.

Oui, j'ai bien un cas particulier sensé être simple :

E est un espace vectoriel muni de la norme suivante :

N(x)= Somme de i = 1 à i= n de |x_i|

Caractériser et représenter la boule unité de E par rapport à cette norme.

J'ai trouvé sur internet que c'est un losange mais j'ai bien sûr besoin de justifier...
J'en ai pleins d'autres à faire mais une fois que j'aurais compris pour ce cas là, ça devrait aller.

En dimension 2 pour commencer : un élément de R^2 est un couple (x,y).
Avec cette norme, N(x,y) = |x|+|y|. La boule unité est l'ensemble des points pour lesquels ceci est inférieur à 1.
Le mieux à faire est de regarder l'un après l'autre les quarts de plan : si x et y positifs, on peut écrire y < 1-x, ce qui correspond aux points situés sous la droite d'équation y = 1-x : on obtient le triangle dont les sommets sont O, I et J (dans le repère (O, vec(OI), vec(OJ)).
Tu continues dans les trois autres quarts de plan (avec |x| = -x quand x est négatif) et tu trouves ton losange (qui est carré en repère orthonormé)

en dimension 3, par la même méthode (mais 8 régions de l'espace à envisager), tu trouveras un octaèdre...

Mais je m'arrête quand ? Il n'est pas préciser dans l'exercice de quelle dimension est E, juste qu'il est fini.

L'exercice ne précise rien ? même pour la représentation ? curieux ...

non ils ont précisé R2 pour un autre exercice mais pas pour celui-là.
bref, merci.

D'autre part, est-ce qu'une norme est uniformément continue?

Et lorsque x € R et y € [-1, 1] tel que y = cos x.
On a bien x € [-2kPi, 2kPi] pour tout k € Z+
Mais est-ce que {(x,y)} est un fermé ?

Merci beaucoup,
Emilie.

Rebonjour. Alors calmement. lafol a raison; si on veut dessiner, on peut difficilement dépasser la dimension 2 ou 3.

Ensuite: oui, une norme est uniformément continue, car 1-lipschitzienne: |N(x)-N(y)|N(x-y).

Enfin, si on pose F(x,y)=y-cos x, on a une fonction continue et

donc il s'agit de l'image réciproque du fermé {0}; c'est donc un fermé.

Encore un petit problème.

D={(x,y)€ R, x€ ]0, pi] et y=cos x }

D est-il ouvert ? fermé ?

Ma réflexion :

y € [-1, 1[
Il n'existe pas de boule de centre (pi,-1) avec r>0 tel que B((pi,-1),r) soit inclue dans D donc D n'est pas ouvert.

Je pense que D n'est pas fermé non plus. Mon problème est que normalement, je prend une suite de points de R et je montre que sa limite n'y appartient pas. Seulement ici, on a deux variables pour l'espace de départ.
En gros, on a :
D = {(x,y) € ]0, pi]x[-1, 1[ tel que y=cos x}

Comment dois-je faire ?

Emilie.

Bonjour, essaye la suite (pi/n,cos(pi/n)) ?

Mais en fait, j'ai du mal à comprendre comment on peut avoir une suite avec 2 arguments. Est-ce en fait une suite constitué de deux suites ?
u(n) = ((pi/n,cos(pi/n)))
avec v(n) = pi/n et w(n)=cos(pi/n)
v: ]0, pi] -> ]0, pi]
w :[-1, 1[ -> [-1, 1[

non, c'est une seule suite, mais les termes de cette suite sont des couples, pas des nombres. en reprenant tes notations : u : N* --> R², n|--> u_n =(pi/n, cos(pi/n))