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Boules fermées

Posté par
leganne 04-11-15 à 11:27

Bonjour, j'ai un problème pour dessiner 2 boules fermées :

1) J'aimerais dessiner la boule fermée de R2 de centre a=(1,2) et de rayon r=1 par rapport à la norme N_1(x,y) = |x|+|y|

On a donc : Bf=\{(x,y)\in R^2 |\ |x-1|+|y-2| \leq 1\}

J'ai une idée de ce à quoi ressemblera la boule mais il me faut 4 équations de droite pour pouvoir la tracer.

J'ai : 2 \leq x+y \leq 4

Mais je ne sais plus comment trouver les deux autres cas à cause de la valeur absolue. Dois-je remplacer |x-1|+|y-2| \leq 1 par \sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(y-2)^2} \leq 1 ?

2) Dessin de la boule fermée de R2 de centre a=(3,0) et de rayon r=3 par rapport à la norme N(x,y) = \sqrt{x^2+9y^2}

On a donc : Bf=\{(x,y)\in R^2 |\ \sqrt{(x-3)^2+9y^2}\leq 3\}

Donc (x-3)^2+9(y-0)^2\leq 9

Je suis bloquée ici, il me semble que le résultat sera une ellipse mais je n'arrive pas à identifier les axes.

Merci beaucoup !

Posté par
nicomezire : Boules fermées 04-11-15 à 12:08

Bonjour,

Pour la question 1) le plus simple est de translater le problème en 0 pour commencer. Donc commencer par trouver la boule de centre (0,0) et de rayon 1.
Là il vaut mieux résoudre \left| x \right|+\left| y \right|=1 en faisant une disjonction des cas dans les 4 portions de plans délimitées par les axes puis faire un petit raisonnement pour trouver les solutions de \left| x \right|+\left| y \right| \leq 1.
Par exemple dans le cadran supérieur droite, cela revient à résoudre x+y=1, dans le cadre supérieur gauche -x+y=1 et ainsi de suite.

Pour la question 2), la solution est bien une ellipse, les axes ont les mêmes directions que les axes (0x) et (0y).
En résolvant (x-3)^2+9y^2 = 9 on trouve une ellipse paramétrée par \phi(t)=(3+3*cos(t),sin(t)).

Posté par
legannere : Boules fermées 04-11-15 à 20:23

J'ai compris merci beaucoup !


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