so !

il va falloir montré la double inplication :

commenson par d>r+r' => l'intersection est vide : on peut montré sa facilement par contraposé (par exemple) soit m appartiena l'intersection, l'inegalité triangulaire te conduira rapidementa r+r'<= d, d'ou le resultat par contraposé.


montrons maintenant que l'intersection est vide => d>r+r', qu'on va montré ... par contraposé !

[ce passage utilise la structure d'espace vectorielle normé, je n'ai pas l'impression qu'on puisse ce contenter de la structure d'espace metrique]

donc soit deux boule telle que d<=r+r': il faut prendre un barycentre M bien choisit de O et O' de telle que que M soit dans les deux boules !

pourrais-tu détailler un peu plus ?

Pour la première implication j'ai fait : (je note n la norme sur cette espace vectoriel normé E, a le centre de B, a' le centre de B')

n(x-a')<= r' et n(x-a')<= r+d  mais ça ne me permet pas de conclure ...

encore merci pour ton aide !

bien sur, j'avait juste donné quelque element la !


donc on a m dans l'intersection : on ecrit l'egalité triangulaire entre a,m et a' :

d(a,m)+d(m,a') >= d(a,a') = d

or d(a,m)<=r et d(m,a')<=r' donc r+r'>= d


(d'ailleur y a une faute de frape dans le precedant, j'ai ecrit r+r'<= d, ce qui est evidement faux)

ah oui : j'ai utilisé une distance plutot qu'une norme, je ne sais pas si vous avez parlé de taupologique General ou d'espace metrique en cours.

si ce n'est pas le cas et bien d(a,b) signifie distance de a à b, c'est a dire comme tu parle d'espace vectorielle normé N(a-b)

oui effectivement merci beaucoup !!!!!!

je vais essayer l'autre implication, mais j'avoue que je ne perçois pas bien le rôle d'un barycentre ici ...

en faisant un dessin dans R² :

tu a deux cercle qui ce coupe, l'idee c'est de prendre un point entre les deux centre des cercles. le milieux ne marchera pas toujours (par exemple si l'un des rayon est petit a coté de l'autre) mais en prenant un barycentre a coeficient positif (ie un point du segment) bien choisit, on devrait pouvoir le placer "dans l'intersection" et donc montrer qu'elle est non vide !


tu vois mieux mon idée ?

heu non pas vraiment ... la l'hypothèse que l'on fait c'est justement que l'intersection est vide ... on veut montrer que d > r + r'

Avec le raisonnement que tu me présentes, on ne remontre pas la premiere implication ?

non non, on le prouve par contraposé :

on suppose r+r'>=d, et on montre que l'intersection est non vide !


et pour cela on recherche un barycentre de O et O' qui va appartenir a cette intersection !

ah oui d'accord j'ai compris le principe ... maintenant la mise en oeuvre ... :s

il y a plusieur facon de le faire apres : on peut par exemple ponderé 0' avec r et O avec r' , ou bien choisir les coeficient de telle sorte que le barycentre soit juste a la surface d'une des deux sphere.


on retombe apres sur un probleme de geometrie vectorielle "tous bete" comme tu as pu le faire au lycee : tu exprime les distance entre G (le barycentre) et les deux centres, en fonction des coeficient, et tu montre que c'est de distance sont inferieur a r pour l'une et r' pour l'autre !

non décidement je n'y arrive pas

et bien, a moins que tu sois presser je te donnerait la sollution demain :S

parceque la j'ai plus le temps de chercher, je dois partir, dsl ^^

bah je suis censé le présenter demain ... mais si tu ne peux vraiment pas me l expliquer maintenant ce n est pas grave ...

encore merci !

dans ce cas, c'est un peu tard mais :


donc si on apelle G le barycentre de (0,r') et (O',r)

on a OG = OO'*r/(r+r') = d/(r+r') * r, hors d/(r+r')<= 1, d'ou |OG|<=r, G est dans la sphere de centre O et de rayon r !

on refait la meme chose pour O'G et on a finit !

finalement quelqu'un d'autre est passé à ma place enfin bref ! dès que j'ai le temps, je te proposerai la solution de mon prof qui fait les deux implications en démonstration directe, sans passer par les contraposés. Ce soir je suis un peu débordé, mais dès que je peux j'te montre ça