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C1, C2 et derivees partielles

Posté par
martizic
16-11-23 à 13:31

Bonjour, voici un énoncé avec lequel j'ai du mal...

\text{Posons } f(x, y) = \begin{cases} xysin\frac{1}{y}& \text{ si } y\neq 0 \\ 0& \text{ si } y = 0 \text{ et } x\in R \end{cases}

f est-elle C1 sur R2?
f est-elle C2 sur R2?
Etudiez f et ses potentielles dérivées partielles sur ∆ = {(x, y) ∈ R2; y\neq 0 et R2\∆


Voici selon moi les étapes à réaliser afin de répondre à l'énoncé :
1) Montrer que f est C0 sur R2\∆
2) Sur ∆, calculer |f(x,y) - f(∆)| et prouver que cela tends vers 0
3) Conclure que f est bel et bien C0
4) Calculer \frac{\delta f}{\delta x} puis \frac{\delta f}{\delta y}
5) Maintenant je bloques pour démontrer que les dérivées partielles sur R2\∆ existent...
Dois-je utiliser la formule : lim(t\rightarrow 0) \frac{f(a+t, b)-f(a, b)}{t} et lim(t\rightarrow 0) \frac{f(a, b+t)-f(a, b)}{t} ?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : C1, C2 et derivees partielles 16-11-23 à 14:30

Bonjour

2) Que signifie f(\Delta)?

Pour démontrer que tout est OK sur \R^2\setminus \Delta on peut utiliser des théorèmes généraux.

Je te rappelle que la fonction sinus est bornée.

Posté par
martizic
re : C1, C2 et derivees partielles 16-11-23 à 15:15

Pour l'instant j'ai dis que :
1) sur R^2\∆, f est continue par compo de fonctions continues
2) en (x,0) :
| f(x,y) - f(x,0) | = |xysin(1/y)| ≤ |xy| ---> 0
3) Donc f est C0.
4) De plus j'ai calculé les derivees partielles en x et y sur R2\∆,
neamoins comment faire pour prouver l'existence et calculer les derivees sur R2 entier, donc en (x,0) ?

Dois-je calculer lim(t\rightarrow 0) \frac{f(x+t,0) - f(x,0)}{t} et lim(t\rightarrow 0) \frac{f(x,t) - f(x,0)}{t}

Posté par
Camélia Correcteur
re : C1, C2 et derivees partielles 16-11-23 à 15:17

Oui, ce sont ces limites.

Posté par
martizic
re : C1, C2 et derivees partielles 16-11-23 à 16:02

Parfait, j'ai réussit à finir l'exo merci!

Posté par
Camélia Correcteur
re : C1, C2 et derivees partielles 17-11-23 à 16:21

Bravo!



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