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Niveau Maths sup
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cacul de la limite de: 1+1/2²+1/3²+...+1/n²

Posté par
flashy
01-03-07 à 21:23

Bonjour,
voilà mon exo:pour n
*, on a : Pn=\frac{1}{2i}[(X+i)^{2n+1}-(X-i)^{2n+1}] avec i²=-1

1)trouver a et b t.q pour x>1:\frac{1}{x(x-1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1} et en déduire la limite de vn=\sum\frac{1}{k(k-1)} (somme: de k=2 à n)
-->je trouve a=-1, b=1 et lim(vn)=1
2)M.q un=\sum\frac{1}{k^{2}} converge (somme:de k=1 à n).On note E(2) sa limite
-->OK pour cette question
3)M.q pour tout p2: wn=\sum\frac{1}{k^{p}} est convergente (somme: de k=1 à n).on note E(p) sa limite.
-->OK pour cette question
4)M.q PnR[X]; donner son degré et le coeff dominant
-->??????
5) calculer les racines de Pn
-->??????
6)M.q il existe un polynôme Qn de R[X] t.q Pn(X)=Qn(X²)
-->en utilisant la formule du binôme de Newton dans l'expression de Pn, les termes avec les k paires disparaissent!je trouve: Q(x)=C_{1}X^{2n}-C_{3}X^{2(n-1)}+C_{5}X^{2(n-2)}-C_{7}X^{2(n-3)}+...+C_{2n-1}i^{2(n-1)}X^{2}+i^{2n}
où Cx sont les coefficients dans la formule de binôme
7)donner la décomposition de Qn dans R[X]
-->??????je n'ai pas vraiment compris la question
8)calculer sn=\sum(cotan^{2}(\frac{k\pi}{2.n+1})) et T(n)=\sum(\frac{1}{sin^{2}(\frac{k\pi}{2n+1})}) avec somme de 1 à n
-->si je ne me trompe pas Sn=T(n)-n mais après je ne vois pas comment calculer T(n)?????

Posté par
lafol Moderateur
re : cacul de la limite de: 1+1/2²+1/3²+...+1/n² 01-03-07 à 21:57

Bonsoir
question 4 : développe avec le binôme de Newton : les termes en X exposant 2N+1 se compensent, regarde les suivants
question 5 : pense à transformer l'équation pour utiliser les racines de l'unité

Posté par
flashy
re : cacul de la limite de: 1+1/2²+1/3²+...+1/n² 02-03-07 à 22:20

bonjour  lafol
pour la question 4), c'est bien comme ça que j'avais procédé. Mais enfait les termes avec les k(la "variable" dans le binôme de Newton)paires se compensent aussi.Du coup il nous reste l'expression que j'avais donnée pour Qn(x²) dans la question 6). Mais peut-être qu'il faut que je mette des coefficients nuls au lieu de faire disparaître les termes avec les k paires car comme ça j'obtiens bien un polynôme de R[X].

Mais pour la question 5) est-ce que vous pouver donner un peu plus de détails SVP.

D'autre part, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la question 8) SVP car cela m'aiderait beaucoup pour la suite de mon exo.

Posté par
lafol Moderateur
re : cacul de la limite de: 1+1/2²+1/3²+...+1/n² 03-03-07 à 10:06

Re bonjour
question 4 :les X^{2n+1} s'en vont, on est d'accord. en X^{2n}, on a (2n+1) comme coeff, donc le degré est 2n et le coeff dominant est 2n+1.

question 5 : Pn(X)=0 s'écrit (X+i)^{2n+1}=(X-i)^{2n+1}, c'est-à-dire \(\frac{X+i}{X-i}\)^{2n+1}=1, tu es ramené aux racines de l'unité.

question 6 : j'ai l'impression que ce que tu appelles Q(X) est en fait P(X)=Q(X²) : divise tous les exposants par 2 pour avoir Q, et écris mieux les coeff : nombres de combinaisons, certes, mais parmi combien ?

question 7 : les racines de Q sont fortement liées à celles de P : tu peux les déduire de ta réponse à la question 5.

question 8 : je pense que quand tu auras les racines, ça va s'éclairer ...



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