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Calcul d'expression

Posté par
Alorange38
11-01-24 à 16:30

Bonjour à tous et toutes,
Bonne année tout d'abord et je vous joins un problème qui me pose "problème".

Pour un concours où le niveau en maths est de bac +3/4 (toute notion en analyse et probabilités) confondue, je travaille  les notions dont j'ai du mal telles que les polynômes et voici un problème auquel je me confronte.

1) Pour tout entier n naturel, calculer (x+1)n+(x-1)n-2xn et préciser son degré et son coefficient dominant.

En temps normal, je réussis très bien ce genre de question. Je remarque qu'il faut passer au binôme de Newton. Néanmoins, après l'utilisation du binôme, j'obtiens k= 0 à n (k parmi n) xk + (-1)^n k=0 à n (k parmi n) (-x)k - 2xn.

Est-ce que la somme ici vous parez correcte. Si oui, je conçois qu'il faut étudier la parité de n qui permet ensuite de faire une disjonction de cas avec le (-1)n mais je ne sais pas comment bien rédiger cela.

Bonne journée ! (par ailleurs savez vous comme faire les indices k= 0 à n d'une somme et le coefficient binomial sur ce site, merci !).

malou edit > \Sum_0^n s'obtient en utilisant le Ltx avec la commande \Sum_0^n entre les balises Ltx (voir sous la zone d'écriture), êtite aide Ltx ici [lien]

Posté par
verdurin
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 17:03

Bonsoir,
il me semble préférable de faire le développement suivant les puissances décroissantes de x comme suit :

(x+1)^n+(x-1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k x^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\bigl(1+(-1)^k\bigr)x^{n-k}

Je mets le code \LaTeX s'il t'intéresse
(x+1)^n+(x-1)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}+ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k x^{n-k} = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \bigl(1+(-1)^k\bigr)x^{n-k}

Posté par
Ulmiere
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 17:15

C'est correct mais pas très habile.
Moi j'aurais plutôt utilisé le fait que pour tout polynôme P de degré au plus n, P(X) = \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(0)}{k!} X^k

Quelle est la dérivée k-ième de X^n ?
En déduire celle de (X+1)^n et (X-1)^n en utilisant la formule de dérivation (u\circ v)' = (u'\circ v) \times v'. Sommer les trois dérivées et évaluer en 0.

Ca doit faire quelque chose comme (1-\delta_{n,k})\binom{n}{k}(1+(-1)^{n-k})

Posté par
verdurin
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 17:35

Salut Ulmiere.
Ta méthode est excellente si on est payé à la ligne d'écriture.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 17:40

Bonjour,
Perso, quand je suis un peu dans le brouillard pour ce genre de chose, je traite quelques cas numériques en espérant que ça va éclairer ma lanterne.
Ici, traiter n = 2, 3, 4 ou même 5 permet de voir qu'il est inutile de s'occuper de la parité de n.
Et de conjecturer le résultat.

Posté par
carpediem
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 18:02

salut

(x + 1)^n + (x - 1)^n - 2x^n = (x + 1)^n - 1 + (x - 1)^n - 1 - 2(x^n - 1) = (x + 1 - 1) \sum_0^{n - 1} (x + 1)^k + \sum_0^{n - 1} (x - 1 - 1) \sum_0^n (x - 1)^k - 2(x - 1)\sum_0^{n - 1} x^k

mais ça ne fait peut-être pas avancer le schmilblick (et c'est pour ça que je poste !!)

Posté par
carpediem
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 18:46

y a un petit bug !!

(x + 1)^n + (x - 1)^n - 2x^n = (x + 1)^n - 1 + (x - 1)^n - 1 - 2(x^n - 1) = (x + 1 - 1) \sum_0^{n - 1} (x + 1)^k + (x - 1 - 1) \sum_0^n (x - 1)^k - 2(x - 1)\sum_0^{n - 1} x^k

mais ça ne fait toujours peut-être pas avancer le schmilblick (et c'est pour ça que je poste !!)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 19:16

Bonsoir carpediem,
Inutile de faire avancer le schmilblick.
Ce que propose verdurin fonctionne très bien me semble-t-il.

Posté par
Alorange38
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 22:44

Bonsoir à tous et merci pour vos retours.

Sylvieg, j'ai effectué des calculs au départ afin de faire une conjecture et de tenter une possible récurrence. Néanmoins, sauf erreur de calcul, je remarque pour n=1, l'expression fait 0, n=2 l'expression vaut 2, n=3 l'expression vaut 0... on peut donc s'attendre à ce que l'on ait une parité et en fonction de cette parité on peut obtenir 0 ou 2. Néanmoins, en n=4, l'expression vaut 10x^2 + 2
ce qui contredit tout et semble plus cohérent qu'une alternance entre 0 et 2. Bref, je ne vois pas comment la conjecture peut m'aider mais je suis peut être passé à côté aussi Sylvieg !

J'ai donc fait comme Verdurin m'a conseillé, c'est très juste merci.
Ainsi, l'expression : \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}+ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k x^{n-k} = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \bigl(1+(-1)^k\bigr)x^{n-k}

Donne :
Pour k impaire : 0
Pour k pair : \sum_{0}^{n} \binom{n}{2k} 2x^{n-2k} = 2\sum_{0}^{n} \binom{n}{2k} x^{n-2k} = 2(1+x)^n
Ainsi, l'expression donne alors : 2(1+x)^n - 2x^n

Normalement, j'ai juste jusque là. Or, j'ai du mal à voir le degré dans cela et le coefficient dominant dans cette expression.
Par ailleurs, plus généralement avez-vous une méthode pour déterminer un degré et un coefficient dominant. J'ai l'impression que cela varie en fonction des exercices et qu'il n'y a pas de méthode commune et je rebute presque à chaque fois sur des exercices.

PS : merci pour le texte en format LTX, je commence à prendre le coup de main

Posté par
verdurin
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 23:13

On peut commencer par écrire les premiers termes :
(x+1)^n=x^n +nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}+\cdots
(x-1)^n=x^n -nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}+\cdots

La suite est presque évidente.

Posté par
Alorange38
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 23:26

ok donc on a un degré qui est égal à n-1 et un coefficient dominant qui est égal à 2n. Je vous remercie grandement pour votre aide.
Le problème à une suite, je réfléchie à la question 2 qui devrait me poser moins de problème. Merci !

Posté par
verdurin
re : Calcul d'expression 11-01-24 à 23:52

Non.
Pour n2 on a un degré égal à n-2 et un coefficient dominant égal à n(n-1).
Petit rappel n-n=0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul d'expression 12-01-24 à 08:43

Bonjour,
@Alorange38

Citation :
pour n=1, l'expression fait 0, n=2 l'expression vaut 2, n=3 l'expression vaut 0.
Quelle expression ?
S'il s'agit de (x+1)n+(x-1)n-2xn, c'est faux. Pour n = 3, on trouve 6x.
N'as-tu pas confondu la parité de n avec la parité de k ?
Avais-tu lu le message de verdurin à 23h13 avant de répondre à 23h26 ?

Posté par
Alorange38
re : Calcul d'expression 12-01-24 à 09:03

Ah mais oui Verdurin avait raison j'avais mal l'expression. Oui bien entendu pour n>2 on a bien un degré égal à n-2 et comme les deux termes s'ajoutent on obtient n(n-1). C'est compris alors parfait merci encore Verdurin !

Posté par
Alorange38
re : Calcul d'expression 12-01-24 à 09:27

Et merci Sylvieg !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul d'expression 12-01-24 à 15:57

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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