Bonsoir.

Je te propose deux méthodes.

1°) Calcul direct.



J'ai alors traité I(a,b) comme un polynôme du second degré en a. Il présente un minimum en :



En reportant cette valeur de a dans I(a,b), cela donne un polynôme en b dont je cherche à nouveau le minimum.

Enfin, je trouve un minimum :

Pour la petite histoire, je me suis aidé de maple pour les calculs intermédiaires.


2°) Utilisation du produit scalaire

On remarque d'abord que L : t -> tln(t) peut être prolongée en 0 par L(0) = 0

Cela étant, je désigne par (C) l'espace des applications continues de [0,1] dans R que je munis du produit scalaire classique :



Alors, I(a,b) désigne le carré de la distance de L à la fonction t -> at²+bt qui appartient plan (P) engendré par les fonctions t -> t² et t -> t. Ce qui nous intéresse ici c'est le minimum du carré de cette distance. On sait que ce minimum s'obtient en cherchant le projeté orthogonal p(L) de L sur (P), puis en évaluant la distance L - p(L).

a) On cherche une base orthogonale de ce plan du type : (t² ; ut²+vt).

En écrivant que (t² | ut² + vt) = 0 j'arrive par intégration à u = 5 et v = - 4

b) on rend cette base orthonormale.

En calculant (t² | t² ) = 1/5 et (5t²-4t | 5t² - 4t) = 1/3 j'arrive à une bas orthonormale de (P) :



Le théorème de projection orthogonale me dit alors :

Le projeté orthogonal p(L) de L sur (P) est : p(L) = (L | f).f + (L | g).g

En calculant les deux intégrales je trouve (cette fois sans le recours de maple si si promis !)



Cela permet enfin de connaître la projection orthogonale p(L) de L sur (P) :



Alors, ce minimum cherché est obtenu en calculant :



J'obtiens :



Ce qui est rassurant.

Remarquer que la distance de L à (P) est

A plus RR.

Erreur de frappe dès le début dans I(a,b) : il ne reste pas de "t". Remplacer ce "t" par "a".

A plus RR.