Inscription / Connexion Nouveau Sujet
calcul d'intégral (plancherel)
Bonsoir a tous !
me revoila avec un nouveau probleme, il ne s'agit plus de fonction analytique cette fois ...
je dois calculer l'intégrale entre -Inf à
+ Inf de (sin x/x)^4 dx
je sais que je dois utiliser le théoréme de plancherel mais je ne vois pas comment :
puisque a chaque fois je suis ramenée à calculer intégrale entre -Inf à +Inf de
[(sin x/x)^2] exp(-izx) dx
et donc je suis toujours autant bloquée
quelqu'un aurait il une idée ?
Adeline
Bonsoir.
A quel théorème de Plancherel fais-tu allusion ?
Je me demande s'il ne faut pas passer par les fonctions de C dans C, comme nous l'avons fait dans un précédent message, pour montrer que :
A plus RR.
Bonjour,
en fait quand je parlais du théoréme de plancherel je pensais a celui avec les transformées de Fourier:
si f est une classe de Schwars alors:
int entre -Inf et +Inf de |f(x)|²dx est égale à : (1/2
)* int entre-Inf et +Inf de|F(z)|²dz
où F est la transformé de Fourier de f
(c'est un théoréme que j'ai dans mes cours)
Et donc je suis ramenée à calculer intégrale entre -Inf à +Inf de
[(sin x/x)^2] exp(-izx) dx ou l'opposé
mais je ne vois pas comment
Adeline
Bonjour,
Je n'ai pas regardé de près le problème.
A première vue, l'indication pourrait être :
L'intégrale entre -Inf à +Inf de [(sin x/x)^2] exp(-izx) dx est réelle (fonction impaire pour la partie imaginaire)et égale à
= intégrale entre -Inf à +Inf de [(sin x/x)^2] cos(zx) dx
Puisque cos(zx) = 2(cos(zx/2))^2 -1, on serait conduit à deux intégrales, l'une avec ((cos(zx/2)/x)(sin x))^2 et l'autre avec (sin x/x)^2
Qu'il faudrait calculer par une seconde application du théorème de Plancherel.
En espérant que cette indication soit pertinente... je manque de temps actuellement pour vérifier.
Je ne pense pas que ce soit comme ca par ce qu ej'ai beau tourner les equations dans tous les sens on est quand meme bloqué ...
sans doute par ce qu eje cherche avec "l'inversion formula" des transformation de fourier a avoir f(x) sachant que j'ai F(z)= (sin z/z)²
mais je ne sais pas si c'est la bonne méthode (meme si je pense que oui)
adeline
je ne suis pas sure de comprendre ,c'est la fonction f(x)=1 pour tout x dans [-1,1]?
adeline
je vais chercher .....mais je ne suis pas sure
mais merci quand meme!!
Adeline
merci ...bon ok pour le moment ca ne ocnfirme rien mais au moins je sais ou je dois arriver!
je pense que pour aujourd'hui je vais abondonner mais je reprendrais demain
Adeline
Bonjour adeline85,
un peu de patience SVP ! J'avais dit que je manquais de temps hier. On n'a pas que cela à faire, la dactylographie d'une réponse demande souvent bien plus de temps qu'il n'en a fallu pour poser la question et on est très solicité : Certains doivent attendre encore bien plus longtemps que cela !
Ceci dit, la page jointe (écrite sommairement, à vérifier) devrait aider.
Remarque : Je pense qu'on ariverait également au résultat par d'autres méthodes (par exemple la méthode des résidus).
je vien juste de decouvrir cette reponse !!!
et vraiment un enorme merci ...je vais regarder ca de plus pres mais ca me semble super logique et en meme temps ...OUAOU!! je suis supert impressionee
merci encore
Adeline
Re bonjour,
en fait je me suis un peu emballee.....
je ne vois pas vraiment comment montrer que F(t)=0 pour tout t>= 1/ par exemple.
En utilisant la formule que tu me conseil dans un premier message, on arrive a une integrale avec (cosx.sinxt/x)^2 avec t>1 mais on ne sais pas vraiment ce que fait le cosinus puisque c'est une fonction periodique....
adeline
Bonjour,
La méthode des résidus est également très intéressante pour calculer l'intégrale en question. La page jointe en donne un aperçu :
Bonjour JJa.
Bravo pour ton calcul. C'est ce que j'avais signalé à Adeline 85 : utilisation des fonctions holomorphes.
J'avais envoyé il y a quelque temps un calcul analogue à Adeline pour évaluer :
.
A plus RR.
Bonjour adeline85,
La fonction F(t) est la transformée de Fourier de (sin(x)/x)²
Je dois avouer que j'ai choisi la solution de facilité en allant la chercher "toute cuite" dans une table des transformées de Fourier.
Si l'on a un peu plus de courage (et de temps à perdre) on peut la calculer soi-même assez aisément : c'est pour cela que je n'ai pas pris le temps d'expliciter ce calcul.
Il faut utiliser les propriétés de convolution. Voir par exemple:
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
Tu trouvera la formule donnant la transformée de Fourier d'un produit de deux fonctions : c'est la convolution entre les transformées de Fourier de chacune de ces fonctions (dans ton cas les deux fonctions sont identiques = sin(x)/x ).
En résumé :
- Calculer la transformée de Fourier de sin(x)/x : c'est une fonction en créneau, constante entre deux valeurs de t et nulle ailleurs.
- Effectuer la convolution de cette fonction en créneau avec elle-même, ce qui donnera F(t) qui est la fonction "en triangle".
Pour la formule de l'intégrale de convolution, voir par exemple:
http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html
Bon courage, tu es sur la bonne voie pour t'en sortir !
Bonjour!
je viens de passer pas mal de temmps a essayer de comprendre le fonctionement des transformées de Fourrier ...et surtout ici mais non je ne comprend pas comment on intégre des sin cos , tout mélanger en plus ...du coup je vais me rabatre sur la solution de facilitée Théoréme des Résidus
merci encore JJa
Adeline
Bonjour adeline85,
Il est dommage que tu renonces si près du but !
Ce qu'il restait à faire était pourtant très simple : calculer la transformée de Fourier de (sin(x)/x)^2.
On part de la transformée de Fourier de (sin(x)/x), qui est une fonction "créneau". Voir par exemple :
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransformRectangleFunction.html
( la transformée de la fonction "créneau" est la fonction sin(x)/x et inversement )
Ensuite, on effectue un produit de convolution, très simple si on en a bien compris la signification, ce qui est représenté sur la figure jointe.
On trouve ainsi, sans avoir besoin de grand calcul, la fonction F(t) dont la démonstration manquait dans mon papier précédent
.
Remarque : Tous les auteurs n'utilisent pas exactement la même définition pour la transformation de Fourier. Selon les uns et les autres, des coefficients diffèrent. Peu importe la définition que l'on choisi : le résultat final sera bon si l'on conserve la cohérence de définition tout au long des calculs.
Dans le cas présent, puisque j'ai fait référence à :
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
je m'en suis tenu à la définition qui y est utilisée. Mais, bien entendu, il serait tout aussi valable d'utiliser une autre définition en usage dans la littérature : la méthode resterait la même, avec quelques petites adaptation des coefficients dans les relations.
Bonjour,
je m'apperçois d'une coquille à la deuxième ligne du document joint à mon post précédent.
Avec mes excuses pour cette faute de recopie.
Je serais très reconnaissant à l'administrateur du forum s'il remplacait le document erroné par le document corrigé joint içi :
bonjour Jja ,
je te remerci beaucoup pour tout ce que tu as fait ...et j'ai " a peu prés compris" ce qui me chifonait en fait c'est que dans mon cours on en parlai spas des transformé de fourier des fonctions tel qu esin ou sin/x et dons pas un mots sur les fonctions créneaux...mais j'ai chercher ds le fond de mes tirroirs et j'ai trouvé une fonction qui résoud en fait mon problem c'est:
f(x)= 2-|x| si |x|<= 2
ou 0 ailleur
alors la transformée de fourier de cette fonction est (aprés quelques calculs)
F(z)= (1-cos(2z))2/z²
et avce un petit changement de variable on arrive res vite au résultat attendue ....
merci encore
Cordialemnt
Adeline
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac