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Calcul d'un somme

Posté par
lyonnais 01-06-08 à 10:16

Bonjour

Je bloque sur cet exercice d'oral posé à l'X en 2006. Si jamais quelqu'un a une idée ...

Calculer :

\Large{\fbox{\sum_{k=1}^{6} cotan^2(\frac{k\pi}{11})}

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:36

Salut lyonnais

ESt-ce 13 ou 11 au dénominateur? Si c'est 13 je peux t'aider ...

Posté par
lyonnaisre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:37

Salut monrow

C'est pas 13 c'est 11

Pourquoi, tu aurais fait comment avec 13 ?

Posté par
gui_toure : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:46

Salut vous deux

Très facile pour un oral d'X ..

4$\rm\Bigsum_{k=1}^6cotan^2\(\fr{k.\pi}{11}\) = \fr{1}{\tan^2\(\fr{\pi}{11}\)} + \fr{1}{\tan^2\(\fr{2\pi}{11}\)} + \fr{1}{\tan^2\(\fr{3\pi}{11}\)} + \fr{1}{\tan^2\(\fr{4\pi}{11}\)} + \fr{1}{\tan^2\(\fr{5\pi}{11}\)} + \fr{1}{\tan^2\(\fr{6\pi}{11}\)}

De rien et A+

Posté par
1 Schumi 1re : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:48

Posté par
lyonnaisre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:51

Merci pour l'aide gui_tou

J'y aurais jamais pensé ! Tu me sauve la vie :D

Plus sérieusement, personne n'a une idée ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:52



Voilà une méthode si ça peut t'inspirer !

J'ai rédigé jusqu'à la fin et j'ai trouvé le satané 11


Salut lyonnais

Ce sont les racines du polynôme:

En général on prouve que 3$\rm\Bigsum_{k=0}^rcotan^2(\frac{k\pi}{2r+1})=\frac{r(2r-1)}{3}

Pour le montrer: On considère le polynôme 3$\rm Q_n=\frac{1}{2i}\((X+i)^{n+1}-(X-i)^{n+1}\) (son degré est clairement n, son coefficient dominant est n+1)

Pour les indices paires : 3$\rm Q_{2r}=\frac{1}{2i}((X+i)^{2r+1}-(x-i)^{2r+1})=\frac{1}{2i}\(\Bigsum_{k=0}^{2r+1}C_{2r+1}^ki^kX^{2r+1-k}-\Bigsum_{k=0}^{2r+1}C_{2r+1}^k(-i)^kX^{2r+1-k}\)

Après simplification, et avec le changement d'indice k=2p+1: 3$\rm\blue\fbox{Q_{2r}=\Bigsum_{p=0}^{r}C_{2r+1}^{2p+1}(-1)^pX^{2r-2p}}

D'autre part, les racines de 3$\rm Q_n sont clairement 3$\rm\(cotan(\frac{k\pi}{n+1})\)_{1\le k\le n}

On déduit une deuxième forme de 3$\rm Q_{2r}: 3$\rm Q_{2r}=(2r+1)\Bigprod_{k=1}^{2r}\(X-cotan(\frac{k\pi}{n+1}\)\)=(2r+1)\Bigprod_{k=1}^{r}\(X-cotan(\frac{k\pi}{n+1}\)\)\Bigprod_{k=r+1}^{2r}\(X-cotan(\frac{k\pi}{n+1}\)\)

Changement d'indice dans le deuxième produit : k=2r+1-j, et sachant que 3$\rm cotan(\pi-x)=-cotan(x) On aura: 3$\rm\blue\fbox{Q_{2r}=(2r+1)\Bigprod_{k=1}^{r}\(X-cotan^2(\frac{k\pi}{n+1}\)\)}

En posant 3$\rm Y=X^2 dans la première expression: 3$\rm\blue\fbox{\Bigsum_{p=0}^{r}C_{2r+1}^{2p+1}(-1)^pY^{r-p}=(2r+1)\Bigprod_{k=1}^{r}\(Y-cotan^2(\frac{k\pi}{n+1}\)\)}

En développant jusqu'à 3$\rm Y^{r-1}, et en identifiant le coefficient de 3$\rm Y^{r-1}, on aura directement: 3$\rm\red\fbox{\Bigsum_{k=0}^rcotan^2(\frac{k\pi}{2r+1})=\frac{r(2r-1)}{3}}

Ainsi: 3$\rm\red\fbox{\Bigsum_{k=0}^5cotan^2(\frac{k\pi}{11})=15

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:53

sauf si c'est 5 et pas 6

Sinon c'est : 3$\rm\red\fbox{\Bigsum_{k=0}^6cotan^2(\frac{k\pi}{11})=15+cotan^2()\frac{6\pi}{11}

Méthode classique avec les polynômes d'Euler

Posté par
gui_toure : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:54

Pour k=0 y a un blème non ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:57

nn nn c'est k=1, erreur de frappe !

Posté par
lyonnaisre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 11:58

Ouah génial ta méthode monrow ( et merci d'avoir pris le temps de tout tapper )

Par contre ici, ma somme va de 1 à 6 et non de 0 à 5

Mais ta démonstration est peut-être adaptable !

C'est beau si ça fait 15

Je regarde

Posté par
gui_toure : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:01

Très joli \LaTeX Mohamed

Pourquoi ne pas laisser 3$\rm 15+cotan^2\(\fr{6\pi}{12}\), c'est un bel exercice

Posté par
lyonnaisre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:02

En tout cas, le résultat semble être le bon d'après Mathématica ( je sais, vous utilisez Mapple )

Calcul d\'un somme :)

Il doit y avoir une erreur d'énoncé, parce que je ne vois pas bien comment on peut simplifier plus que ça ...

Posté par
gui_toure : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:04

Pourquoi ce serait faux ? Ils voudraient juste tester si l'élève connaît la stûce, et pis conclure ensuite

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:05

Lyonnais>> non effet ça commence à 1 comme j'ai dit !

guigui>> merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:07

Y aura sûrement une astuce ! L'X ne fait pas d'erreurs à ce stade !

en fait, cotan²(5\pi/11)=cotan^2(5\pi/11), mais je sais si ça donne quelque chose ...

je cherche encore

Posté par
gui_toure : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:08

Citation :
en fait, 3$\rm cotan^2(5\pi/11)=cotan^2(5\pi/11), mais je sais si ça donne quelque chose ...


Une astuce belge ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:11

Posté par
lyonnaisre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:15

Je regarde aussi de mon coté ...

En tout cas encore merci monrow

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'un somme 01-06-08 à 12:16

En fait je voulais écrire 3$\rm%20cotan^2(6\pi/11)=cotan^2(5\pi/11) mais c'est toujours une astuce belge ...

C'est un plaisir Romain


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