Up svp =)

Bonjour.

La comatrice est la matrice des cofacteurs.

Si A = (a_ij), le cofacteur de a_ij est A_ij = (-1)^i+jdet(A'_ij)

A'_ij étant la matrice obtenue à partir de A en enlevant la ligne i et la colonne j.

Com(A) = (A_ij)

Je peux avoir un exemple svp? =)

Cofacteur de a₁₁ :



Cofacteur de a₁₂ :



Cofacteur de a₁₁ :



Cofacteur de a₂₁ :



Etc.

La comatrice de A est alors :

Bonjour,

Je connais la formule des cofacteurs mais j'ai du mal à me représenter intuitivement ce qu'est un cofacteur sur un schéma et encore moins la comatrice !
Est-ce qu'il serait possible de me faire un dessin pour appréhender ces concepts intuitivement ?

Bonjour
sur un schéma ? quel rapport entre un cofacteur et un schéma ?

raymond a tout expliqué le 22-11-09 à 10:56, relis son post attentivement ...

Peut-on associer une comatrice à une application linéaire à l'instar de ce qui se fait entre une simple matrice et son application linéaire associée ? Si c'est le cas, y'a-t-il un lien entre cette application linéaire et celle associée à la matrice A ?

il existe un lien simple entre A et com(A)



si A non inversible, Com(A)=0
Si A est inverisble et que tu connais l'inverse, cela te permet de calculer rapidement la comatrice (même si en vrai on le fait plutot dans l'autre sens, quand on veut inverser une matrice 3x3 on passe par la comatrice si la matrice ne s'inverse pas facilement)

on ne passe JAMAIS par la comatrice pour inverser une matrice numérique ... c'est le meilleur moyen pour se planter. la formule (1/dét A)transposée de la comatrice a un intérêt théorique, pas calculatoire (nombre d'opérations élémentaires en factorielle de la dimension de la matrice, contre du carré pour des méthodes type pivot de Gauss, qui sont pourtant loin d'être optimisées)

et A peut être non inversible sans que sa comatrice soit nulle

voir ...

Ah oui j'ai parlé trop vite

Mais en cours on passe souvent par la commatrice pour determiner l'inverse d'une matrice 3x3 (pour trigonaliser une matrice par exemple et calculer l'inverse de la matrice de passage)

y'a vraiment des gens qui font ça ? alors que la méthode de Gauss est si rapide ?

jusqu'à l'automne dernier, où j'ai vu une étudiante inverser trois matrices par la méthode de la comatrice sans se tromper, je n'avais jamais vu personne obtenir la matrice inverse sans erreur par cette méthode, c'est si vite fait de se planter dans les calculs, dans les signes, d'oublier d'inverser ....

pour une matrice 3x3 ya que des determinants de taille 2 à calculer c'est faisable (même s'il y en a 9) mais c'est vrai que c'est très casse gueule
Pour une matrice 4x4 ou plus la méthode de la comatrice est clairement inexploitable...

Je sais que si je prends une matrice, il y a une application linéaire associée et l'on peut associer à l'inverse de cette même matrice l'application inverse de la précédente :

AX signifie f(x) où f est l'application linéaire associée à la matrice A
A^-1X signifie f^-1(x) où f^-1 est l'application linéaire inverse de f dont la matrice associée est A^-1, inverse de la matrice A

A-t-on une chose similaire pour com(A) ? com(A)X représente-t-elle le calcul de l'image d'un vecteur par une application ?