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Calcul d'une différentielle
Bonjour,
J'aimerais savoir comment calculer proprement une différentielle un peu particulière. On se donne f fonction de R dans R, et on pose :.
En bref, L est une application définie sur R², et qui à un couple de réels (x,y), associe l'application constante sur R², de valeur f(x) - f(y).
Question : calculer la différentielle de f au point (x,y).
Je tente donc de procéder ainsi :
A partir de là, je devine bien qu'on a sans doute , puisque c'est un truc linéaire en (h',k').
Mais je ne vois pas comment dire que le bidule qui reste, , est négligeable. Déjà, je ne vois même pas par rapport à quoi il devrait être négligeable (une application qui est un o(h','k'), c'est quand même louche...), ni comment le prouver...
Mais il y avait peut-être une autre façon de procéder, sans utiliser la définition de la différentiabilité ? Qu'en pensez-vous ?
Merci !
Salut 
J'écrirai plutôt : o(||h||) et o(||k||)
On doit avoir : L(x+h,y+k)=L(x,y)+D(x,y)L.(h,k)+o(||(h,k)||)
Il faut vérifier que o(||h||)+o(||k||) est un o(||(h,k)||)
Sauf erreurs.
Salut fusionfroide !
Il faut vérifier que o(||h||)+o(||k||) est un o(||(h,k)||)
Ben ici, le problème (je dois avoir du mal à capter cette situation très particulière), c'est qu'en fait, je trouve qu'il faudrait plutôt montrer que
Y a un truc qui m'échappe dans l'affaire, très probablement...
En fait je n'avais lu que la fin, mais je ne comprends pas trop ce que fais ton application L ??
L est une application définie sur R², et qui à un couple de réels (x,y), associe l'application constante sur R², de valeur f(x) - f(y).
Mais que deviennent les h et les k ?
Ben, justement, rien ^^ L est une application qui à tout couple (x,y), associe une application constante de R² dans R. Pour tous les (h,k) de R², on aura donc L(x,y)(h,k) = f(x)-f(y).
Ok
Mais en fait je ne vois pas trop ce qui te gêne.
Si tu appelles q ton application, tu dois montrer que (h,k)->o(h)-o(k) est un o(h,k) ie que
q(h,k)=o(h,k)
Si tu appelles q ton application, tu dois montrer que (h,k)->o(h)-o(k) est un o(h,k) ie que q(h,k)=o(h,k)
Ce qui me gêne, c'est que, comme tu le dis, on doit montrer que (h,k)->o(h)-o(k) est un o(h,k). Mais cela ne revient pas à dire que q(h,k) est un o(h,k), mais que q est un o(h,k)...
Autrement dit, il ne s'agit pas ici de montrer qu'une expression (comme q(h,k)) est un o(h,k), mais qu'une application q est un o(h,k)...
C'est cela qui me gêne assez profondément dans cette affaire. Mon problème est purement logique, et n'a finalement rien à voir avec le calcul diff...
En fait je crois que ta façon d'écrire les calculs pose des problèmes.
Autrement dit, il ne s'agit pas ici de montrer qu'une expression (comme q(h,k)) est un o(h,k), mais qu'une application q est un o(h,k)...
Pour moi q est négligeable devant qqchose si pour tout x, q(x)=o(qqch)
Bref, moi j'aurai procédé ainsi :
En effet, f : R dans R
Donc
Donc la différentielle de
Reste à montrer que
je trouve cela plus clair.
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