Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Calcul d'une différentielle avec produit scalaire

Posté par
Kernelpanic 19-05-19 à 13:03

Bonjour,

j'ai un sujet d'examen en analyse de l'année dernière et je me pose quelques questions pour l'efficacité de résolution d'un exercice. Le voici :

"Soit < , > un produit scalaire sur \R^n et \| . \| la norme associée. Soit u un endomorphisme de \R^n qu'on suppose symétrique.

a) On définit l'application

G : \R^n / \{0\} \to \R \\~~~~~~~~ x ~~~~~ \to \dfrac{<u(x),x>}{\|x\|^2}

Justifier que l'application G est différentiable et calculer sa différentielle.

b) Montrer que pour tout a de R^n/\{0\}, on a DG(a) = 0 si et seulement si a est un vecteur propre de u"

Bon la justification n'est pas très compliquée, il suffit de montrer que G est le produit de fonctions différentiables. Voilà le problème, je galère pas mal à trouver les bonnes fonctions...

J'ai pensé à en introduire plusieurs (et je pense ne pas être efficace sur ce point, n'hésitez pas à me rectifier) :

\phi (x,y) =~ <x,y> \\ \psi(x,y) = (u(x), y) \\ H(x) = \phi ~o~ \psi(x,x) \\ \\ I(x) = \dfrac{1}{x} \\ P(x) = I ~o~ \phi(x,x) \\ \\ G(x) = H(x) \times P(x)

qu'en pensez-vous ? Est-ce que l'on peut venir à bout de cette exercice avec ces fonctions ou peut-on faire plus simple (je n'ai pas précisé les domaines de définition, ils sont tous la plupart dans \R^n ou \R^n\times\R^n sauf pour la fonction inverse qui est bien sûr définie sur \R). J'ai tenté de calculer les différentielles de ces dernières et donc de calculer la différentielle de G mais pour le coup le résultat ne m'aide pas pour la seconde question.

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 14:26

salut

avec <x | y> = b(x, y) posons f(x) = b(u(x), x)

f(x + h) = b(u(x + h), x + h) = b(u(x) + u(h), x + h) = b(u(x), x) + b(u(x), h) + b(u(h), x) + b(u(h), h) = f(x) + 2b(u(x), h) + f(h)

car u est symétrique et le produit scalaire b est bilinéaire ...

f(x + h) - f(x) = ...


si x est vecteur propre de u alors il existe un scalaire k tel que u(x) = kx

donc g(x) = k et dgx = 0

...

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 14:33

Je suis rassuré, je retrouve aussi ça pour cette différentielle (j'aurais dû penser au développement limité, ça aurait été bien plus rapide...)

Ohlala j'étais bloqué sur la différentielle pour prouver le 2 mais quel c**... merci carpediem

Passe une bonne journée

Posté par
carpediemre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 14:41

de rien

PS : pour b/ je n'ai fait que dans un sens ...

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 15:16

Oui, aucun souci, je chercherai par moi même

Posté par
luzakre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 15:41

Bonjour carpediem !
Tu n'aurais pas un peu oublié le \dfrac1{\lVert x\rVert^2}  ?

Je pense plutôt que la différentielle en x serait
h\mapsto\dfrac{2}{\lVert x\rVert^2}\langle u(x),h\rangle+\dfrac{2\langle u(x),x\rangle}{\lVert x\rVert^4}\langle x,h\rangle

et le b. s'obtient par la remarque : il y a égalité dans la relation de Schwarz si et eulement si les vecteurs sont colinéaires.

Posté par
carpediemre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 15:47

non je ne l'ai pas oublié !!!

dans ce que j'ai écrit h est la "variable" et x est la "constante" : on cherche la différentielle au point x

mon f n'est absolument pas le G de l'énoncé ...

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 15:57

Bonjour luzak,

luzak @ 19-05-2019 à 15:41


h\mapsto\dfrac{2}{\lVert x\rVert^2}\langle u(x),h\rangle+ \dfrac{2\langle u(x),x\rangle}{\lVert x\rVert^4}\langle x,h\rangle


Ne serait-ce pas plutôt un moins entre les deux morceaux ?

Posté par
luzakre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 16:14

Oui, effectivement : merci de me le signaler.

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 16:33

Néanmoins luzak je vois mal comment conclure à l'équivalence par C.S, je veux bien une piste.

dim Vect\{u(a),a\} = 1 \\ \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R : u(a) = \lambda a \\ \Leftrightarrow | <u(a),a> | = \|u(a)\|\|a\| = |\lambda| <a,a>

et ensuite j'ai surtout des implications et non des équivalences. La première partie faite par carpediem est ok mais finalement la seconde implication, je n'y arrive pas.

Posté par
luzakre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 17:08

J'ai donné l'idée : égalité dans l'inégalité de Schwarz !

Si tu écris la nullité de la différentielle et l'inégalité de Schwarz tu as :

\lVert x\rVert^2\lVert u(x)\rVert=|\langle u(x),x\rangle|\,\lVert x\rVert\leq\lVert u(x)\rVert\,\lVert x\rVert\,\lVert x\rVert
donc |\langle u(x),x\rangle|=\lVert u(x)\rVert\,\lVert x\rVert
et il en résulte la colinéarité de x,\;u(x).

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 17:23

D'accord ! C'était assez simple en fait, merci pour l'idée (je ne voyais pas qu'il fallait remplacer h par u(x)).

Merci, bonne journée

Posté par
luzakre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 18:22

Je ne remplace pas h par u(x) ! J'écris simplement que \mathrm{d}G(x) est nulle, ou encore \foalll h\in\R^n,\;G(x).h=0.

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 18:48

Justement, dans le message de 17:08, il n'y a plus de h :


\lVert x\rVert^2\lVert u(x)\rVert=|\langle u(x),x\rangle|\,\lVert x\rVert\leq\lVert u(x)\rVert\,\lVert x\rVert\,\lVert x\rVert

En partant de la différentielle nulle, on trouve l'égalité :

\|x\|^2 ~\times <u(x),h> ~=~ <u(x),x> \times <x,h>

et je ne sais pas comment conclure.

Posté par
verdurinre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 19:38

Bonsoir,
dans un genre un peu différent.
On peut connaître le théorème :

Citation :
tout endomorphisme symétrique de \R^n est diagonalisable dans une base orthonormale.

Il me semble assez facile de travailler dans une base de ce type.

Posté par
luzakre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 23:07

Citation :

et je ne sais pas comment conclure.


Je suis parti du fait qu'à ce niveau on doit savoir que :
La différentielle en x est la forme linéaire \mathrm{d}G(x) : h\mapsto\dfrac{2}{\lVert x\rVert^2}\langle u(x),h\rangle- \dfrac{2\langle u(x),x\rangle}{\lVert x\rVert^4}\langle x,h\rangle
et comme toute forme linéaire sur un espace euclidien elle est associée à un vecteur

Z(x)=\dfrac{2}{\lVert x\rVert^2} u(x)- \dfrac{2\langle u(x),x\rangle}{\lVert x\rVert^4} x tel que \mathrm{d}G(x) : h\mapsto \langle Z(x),h\rangle.

Pour écrire que la forme linéaire est nulle on écrit que le vecteur Z(x) est nul

Posté par
Kernelpanicre : Calcul d'une différentielle avec produit scalaire 19-05-19 à 23:21

Très bien luzak, merci pour toutes ces explications, c'est à présent clair.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !