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Niveau maths spé
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calcul d'une espérance

Posté par
Etcha66
19-05-18 à 14:31

Bonjour

J'ai un problème sur l'exercice suivant :

Soient n urnes numérotées et N boules toutes identiques numérotées que l'on répartit aléatoirement dans les n urnes. On suppose que N=a*n avec a>0, un entier.
Soit Yn la variable aléatoire comptant le nombre d'urnes vides. On pose Sn=Yn/n.
Question : Calculer E(Sn).

Je ne sais pas du tout comment procéder, une idée... des pistes ?

merci d'avance.

Posté par
Schtromphmol
re : calcul d'une espérance 19-05-18 à 14:36

Bonjour,

Quelle est la probabilité qu'il y ai p urnes vides parmi les n urnes ?

Posté par
Etcha66
re : calcul d'une espérance 19-05-18 à 19:21

Est ce une loi binomiale ? Quelle est la probabilite' qu'une seule urne soit vide ?

Posté par
Schtromphmol
re : calcul d'une espérance 20-05-18 à 01:39

C'est du dénombrement... P(p urnes vides) = "Nombre de cas(p urnes vides)" / "Nombre de cas(total)". Et si p urnes sont vides c'est qu'il y a n-p urens à remplir avec N boules...

Posté par
Etcha66
re : calcul d'une espérance 20-05-18 à 08:26

J'avais bien vu

Je me lance :
je suppose que l'on répartit les N boules dans les n urnes de sorte qu'aucune Urne n'en soit vide. Cela correspond à un nombre de cas possibles valant (n-1 parmi N-1)

Après je ne en sais pas, je suis nul nul en dénombrement

Posté par
Schtromphmol
re : calcul d'une espérance 20-05-18 à 16:06

Si aucune urne n'est vide, cela revient à choisir n-1 séparateurs distinct parmi les boules, donc il y a n-1 parmi N-1 cas possibles comme tu l'as dit.

Si il y a p urnes vides c'est comme si on remplissait n-p urnes de telles sortes qu'elles soient non-vides, reste à multiplier par le nombre de placements possibles des urens vides.

Posté par
flight
re : calcul d'une espérance 20-05-18 à 17:39

salut

apres quelques essais:

P(Y=0)= C(N-1,n-1)/C(N+n-1, N)   ( toutes les urnes remplies)

P(Y=1)= C(n,1).C(N-1,n-2)/ C(N+n-1, N)    1 urnes vide et C(n,1) pour le choix de l'urne vide

P(Y=2)= C(n,2).C(N-1,n-3)/ C(N+n-1, N)  2 urnes vides et C(n,2) pour le choix de 2 urnes vides.

plus généralement :

P(Y=k)= C(n,k).C(N-1,n-(k+1))/C(N+n-1, N)  k urnes vides et C(n,k) pour le choix de de k urnes vides.

Posté par
Etcha66
re : calcul d'une espérance 20-05-18 à 18:37

Super, merci
Après j'ai finalement juste à calculer E(Yn) (linéarité de l'espérance) et je suis ramené à un calcul de somme avec coefficients binomiaux
Merci pour votre aide



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