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Niveau Licence-pas de math
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Calcul d'une image

Posté par
Denis79
12-11-23 à 17:54

Bonjour,

En cours nous avons calculer l'image de l'application suivante :

f : (x,y,z) 3(x+y,y+z,z+x) 3

Pour cela nous avans calcluer f(e1) ; f(e2) et f(e3) , e1,e2 et e3 étant l abase canonique.

On trouve alors Im(f) = vect(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix})

j'ai en exercice maintenant cette application :

f : (x,y,z) 2(x+2y,2x+y,x+y) 3

Dans ce cas, pour trouver l'image, dois je calculeruniquement  que f(e1) et f(e2) ?

Posté par
carpediem
re : Calcul d'une image 12-11-23 à 18:00

salut

ben oui : l'image de (x, y, z) est bien un triplet donc un élément de R3

Posté par
Denis79
re : Calcul d'une image 12-11-23 à 19:24

Pour moi cela donnerai Im(f)=vect(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{pmatrix})

Mais ce n'est pas un triplet

Posté par
Ulmiere
re : Calcul d'une image 12-11-23 à 20:00

C'est un ensemble de triplets, mais personne n'a jamais dit que Im(f) était de dimension 3. Encore heureux d'ailleurs, puisque le théorème du rang te dit que

2 = dim(R^2) = dim ker(f) + rg(f).

Il n'est pas difficile vu la troisième coordonnée de voir que f est injective, donc que rg(f) = 2. Si tu rajoutes un troisième vecteur dans ton vect(...), il sera forcément une combinaison linéaire des deux que tu as déjà trouvés, et im(f) n'est pas non plus une droite vectorielle

Posté par
LeHibou
re : Calcul d'une image 12-11-23 à 21:14

Bonsoir tout le monde,

En posant X = x+2y, Y = 2x+y, Z = x+y, on remarque que X+Y-3Z = 0, ce qui donne une idée de la nature géométrique de l'image.

Posté par
Denis79
re : Calcul d'une image 13-11-23 à 19:26

Merci à tous pour ce complément d'information



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