lu'

Peut-être en remarquant que et avec

On a alors :

Puis une IPP...

A vérifier...

euh j'ai du oublié un facteur 1/2

Poser arctg(cos(t)/(1+sin(t)) = u

1/(1 + ((cos(t)/(1+sin(t)))² * (-sin(t)-sin²(t)-cos²(t))/(1+sin(t))² dt = du

[(1+sin²(t))/(1 + sin²(t) + 2sin(t) + cos²(t))] * (-sin(t)-1)/(1+sin(t))² dt = du

[1/(2 + 2sin(t))] * (-sin(t)-1) dt = du

-(1/2) dt  = du

--> S [arctg(cos(t)/(1+sin(t))] dt = -2 S u du

S [arctg(cos(t)/(1+sin(t))] dt = - u²
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t = Pi/6 ---> u = arctg(cos(Pi/6)/(1+sin(Pi/6)) = artg(1/V3) = Pi/6
t = Pi/2 ---> u = arctg(cos(Pi/2)/(1+sin(Pi/2)) = 0

S(depuis Pi/6 à Pi/2) [arctg(cos(t)/(1+sin(t))] dt =  [u²](depuis Pi/6 jusque 0)

S(depuis Pi/6 à Pi/2) [arctg(cos(t)/(1+sin(t))] dt = Pi²/36
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup j'ai bien compris, il fallait avoir l'idée de poser ce changement de variables, et en général j'ai l'idée de posé un petit changement de variable à l'intérieur de l'intégrale, mais je n'avais jamais pensé à poser toute l'intégrale. En tout cas ça marche très bien comme ça.
Merci