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Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini

Posté par
hazuni 21-04-13 à 00:40

Bonsoir,

Toujours en pleine révision dans mes partiels, il y a un truc que j'ai pas compris dans le partiel de l'an dernier.

f :ℝ -> ℝ , fx,y) = (x−2y)exp(-x²-y²)

a) Montrer que f(x,y) tend vers zéro lorsque la norme de (x,y) tend vers +∞

On a jamais vu en classe ce qu'était la norme, quelqu'un pourrait m'aider? Merci.

Posté par
ottore : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:45

Bonjour,
tu as surement du le voir, mais passons.
Une norme pas idiote ici serait racine de (x^2+y^2) ou sup(|x|,|y|). Tu peux prendre celle que tu veux.

Posté par
greenre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:49

une norme est une distance... en l'occurence, pour ta fonction, c'est la norme euclidienne, c'est à dire la distance usuelle.
Donc si r:=\|(x,y)\|\to 0
Ainsi, |f(x,y)|=|(x-2y)\exp(-\|(x,y)\|)|\leq \|(x,y)\|\exp(\|(x,y)\|+2\|(x,y)\|\exp(-\|(x,y)\|=r\exp(-r)+2r\exp(-r)\to 0 si r\to 0

Posté par
hazunire : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:49

Donc, je dois chercher la limite de f(x,y) quand  racine de (x² + y²) tend vers +oo ?

Posté par
hazunire : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:51

Ah si, tout compte fait je l'avais déjà vu, j'avais simplement oublié le terme, merci pour vos précisions et bonne soirée !

Posté par
ottore : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:51

Oui ou quand sup(|x|,|y|) tend vers +oo ce qui est essentiellement la même chose).

Posté par
greenre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:58

@otto: pourquoi tu compliques avec le sup ?? Si le terme "norme" lui est étranger, c'est que la norme du supremum fait parti d'une autre planète !!

Posté par
ottore : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 00:59

Le sup donne une majoration évidente. Ta majoration ne me semble pas si évidente que tu le dis.

Posté par
ottore : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:01

Et tes calculs sont faux, il devrait y avoir des r^2.
essentiellement ma majoration est 3r.exp(-2r^2)

Posté par
greenre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:07

faut t-il vraiment que je la détail ?? Bon aller, courage:
f(x,y)\leq \underbrace{|x|}_{\leq\|(x,y)\|}\exp(-\|x,y)\|^2)+2\underbrace{|y|}_{\leq \|(x,y)\|}\exp(-\|(x,y)\|^2)=r\exp(-r^2)+2r\exp(-r^2)\underset{pour\ otto}{=}3r\exp(-r^2),
je vois vraiment pas ce qui te chifonne là dedant !!! et le \exp(-{\red 2}r^2) je ne vois vraiment pas d'où il sort !!

Posté par
greenre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:08

ok, je viens de lire mon premier post, j'ai en effet oublié les carrés dans l'exponentiel...

Posté par
greenre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:08

et evidemment, dans mon post de 01:07, le f(x,y) est en valeur absolue !!

Posté par
ottore : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:12

Je n'ai pas dit que tu devrais trouver 3r.exp(-2.r^2), je t'ai dit que c'est ce que moi je trouvais

Posté par
greenre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:20

ok
bonne nuit et bon dimanche

Posté par
ottore : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 01:21

Toi aussi
En espérant que le demandeur a eu sa réponse!

Posté par
delta-Bre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 02:36

Bonjour.

Citation :
il y a un truc que j'ai pas compris dans le partiel de l'an dernier


Comme vous l'avez dit, 'Dans le le partiel de l'an dernier", l'exercice est en relation avec le cours donné où la notion de norme a été définie. Les 3 normes usuelles de 2 y ont été surement définies à savoir ||(x,y)||_1=|x|+|y|,  ||(x,y)|_2=\sqrt{x^2+y^2|} \text{  (norme euclidienne),  }||(x,y)|_\infty=sup\{|x|,|y|\}. Certaines propriétés ont été définies (en particulier l'équivalence des normes et l'indépendance des limites en fonction des normes) ). Dire que la norme tend vers l'infini revient à dire qu'en coordonnées polaire r . Dans la pratique, on utilise pour les calculs plus les propriétés des limites qu'une norme (et si nécessaire celle qui les facilite).

Pour le cas présent le passage en coordonnées polaires est plus indiqué.

Posté par
delta-Bre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 02:53

Bonjour.

Correction norme euclidienne

||(x,y)||_2=\sqrt{x^2+y^2}

Remarque: Un exercice est basé implicitement ou explicitement sur un cours donné sous forme orale, d'un cours polycopié, dans un livre de cours de mathématiques et cela même si l'exercice est tiré d'un recueil d'exercices.

Posté par
hazunire : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 04:01

Je me suis mal exprimé, je ne voulais pas dire qu'on ne l'avait pas vu en cours, mais plutôt qu'on a fait aucun exercice qui parlait de normes (je viens de vérifier mes 2 TD sur les fonctions à 2 variables), par contre, les coordonnées polaires, nous les avons faites effectivement. Mais je ne savais pas que la norme et les coordonnées polaires avaient un lien, désolé


Merci !

Posté par
delta-Bre : Calcul d'une limite avec la norme qui tend vers l'infini 21-04-13 à 04:35

Bonjour.

La limite cherchée est une une limite quand la norme tend vers l'infini, on avait juste besoin de donner un sens à l'expression: norme tend vers l'infini non pas d'utiliser directement les normes.


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