Je fais le deuxième.

(1 - e^(-2x))^(1/2) dx  =  [(1 - e^(-2x))^(1/2).(e^(-2x))/(e^(-2x))] dx

Poser (1 - e^(-2x)) = t²  -> e^(-2x) = 1 - t²
e^(-2x) dx = t dt

-> S (1 - e^(-2x))^(1/2) dx = S [t²/(1-t²)] dt = S [(t²-1+1)/(1-t²)] dt

S (1 - e^(-2x))^(1/2) dx = -S dt + S [1/(1-t²)] dt


Avec 1/(1-t²) = A/(1-t) + B/(1+t)
1/(1-t²) = [A(1+t)+B(1-t)]/(1-t²)
1 = A+B + t(A-B)

En identifiant les 2 membres ->
A+B = 1
A-B = 0

-> A = B = 1/2

S (1 - e^(-2x))^(1/2) dx = -S dt + (1/2) S[1/(1-t)] dt + (1/2) S[1/(1+t)] dt

S (1 - e^(-2x))^(1/2) dx = -t - (1/2) ln|1-t| + (1/2) ln|1+t| + C

S (1 - e^(-2x))^(1/2) dx = -t + (1/2) ln|(1+t)/(1-t)| + C

S (1 - e^(-2x))^(1/2) dx = -(1 - e^(-2x))^(1/2) + (1/2).ln|(1+(1 - e^(-2x))^(1/2))/(1-(1 - e^(-2x))^(1/2))| + C

Tu peux triturer cette solution pour lui donner un plus bel aspect si tu veux.
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Sauf distraction.  

Je n'ai pas vérifié la réponse donnée par J-P.
Pour la première intégrale, on peut faire le changement x=sin(t) ce qui conduit à une intégrale classique :
Une primitive de 1/cos(t)^2 est tg(t).

Voici le premier.

Poser x = sin(t) -> t = arcsin(x)
dx = cos(t) dt

1-x² = 1-sin²(t) = cos²(t)

S [1/((1-x²)*(1-x²)^(1/2))] dx = S [1/cos²(t)] dt = tg(t) + C

S [1/((1-x²)*(1-x²)^(1/2))] dx = tg(arcsin(x)) + C

S [1/((1-x²)*(1-x²)^(1/2))] dx = x/V(1-x²) + C  (avec V pour racine carrée)
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Sauf distraction.  

Je poste et je vois que JJa m' a précédé.

Salut Jacques.  

Zut je le suis trompé de prénom, désolé.

Salut Jean.

Merci beaucoup JJa et JP !

C'est très gentil d'avoir repondu aussi vite!

Puis-je abuser de votre gentillesse et de votre savoir en vous demandant de me calculer une autre primitive que je n'arrive pas (non plus!) à resoudre?

C'est la fonction

f(x) = (1-2x^3)^(1/2) * x^5

Merci beaucoup.

Sandra

P.S : Sur les quatres, j'en aie comme même trouver une toute seul...lol)

f(x) = (1-2x^3)^(1/2) * x^5

Poser 1-2x³ = t² -> x³ = (1/2).(1-t²)

-6x² dx = 2t dt
x² dx = -(1/3).t dt

S [(1-2x^3)^(1/2) * x^5] dx = -(1/6). S [t².(1-t²)] dt = -(1/6) S [t²-t^4] dt

S [(1-2x^3)^(1/2) * x^5] dx  = -(1/6).[t³/3  - t^5/5] + C

S [(1-2x^3)^(1/2) * x^5] dx  = -(1/6).[(1/3).(1-2x³)^(3/2)  - (1/5).(1-2x³)^(5/2)] + C
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Sauf distraction.