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Calcul d une somme de Riemann

Posté par keeho (invité) 29-10-04 à 21:36

Comment montre-t-on que la somme des 1/n2 est égale à Pi2/6 ?

Posté par signeloubna (invité)re : Calcul d une somme de Riemann 29-10-04 à 22:01

je l'avais déjà fait avec un prof de maths de terminal; mais c'est une méthode très longue puisque c'est très simplifié..je t'en parlerai après d'accord

Posté par
franzre : Calcul d une somme de Riemann 29-10-04 à 23:02

Les séries de Fourier sont-elles au programme du Capes ? Dans ce cas, ça sort relativement simplement avec la formule de Parseval appliquée à la fonction f 2-périodique valant 0 sur ]-,0] et 1 sur ]0,].

On trouve c_k(f)= \int_{-\pi}^\pi f(x)e^{ikx}dx=\left{\begin{tabular}\frac 1 2\hspace{10cm} si \;\; k=0\\\frac {1-(-1)^k}{2i \pi k}\hspace{10cm}\forall k \in Z^*\end{tabular}

D'où (par le théorème de Parseval)
\frac 1 {2\pi}\Bigint_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx=|c_0(f)|^2 + \Bigsum_{k=1}^\infty (|c_k(f)|^2+|c_{-k}(f)|^2)
\frac 1 {2\pi}\Bigint_{0}^\pi dx=\frac 1 4 + \frac 2 {\pi^2} \Bigsum_{k=0}^\infty \frac 1 {(2k+1)^2}
\Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {(2k-1)^2}=\frac {\pi^2}8
(seuls les termes impairs son non nuls).

Or \Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2}=\Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {(2k)^2}+\Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {(2k-1)^2}=\frac 1 4 \Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2}+\Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {(2k-1)^2}

(1-\frac 1 4) \Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2}=\Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {(2k-1)^2}=\frac {\pi^2}8

Et enfin le résultat tant attendu
\Bigsum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2}=\frac {\pi^2}6




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