Bonjour,
Tu peux démontrer ça à partir de l'inégalité de la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique qui dit que

Applique la formule avec x₁=a/b x₂=b/c et x₃=c/a
ça donne et donc

Bonjour
Oui mais le problème est de le traiter avec les outils de la seconde

Bon alors je vais te trouver une démonstration plus élémentaire.

Sans perte de généralité, on peut supposer que abc
a/b+b/c+c/a = (a²c+ab²+bc²)/abc, donc l'inégalité à démontrer peut s'écrire a²c+ab²+bc²3abc

on a a²b²c² et abacbc
donc a²cabc : ab²abc et bc²abc
Si on additionne les trois ça donne a²c+ab²+bc²3abc

Bonjour
le problème est maintenant au niveau de  bc²abc avec vos suppositions de départ

oui tu as raison, ça ne va pas, ça donne ca qui est faux. j'ai conclus trop vite.

Bon, et bien il faut se rabattre sur l'inégalité de la moyenne, c'est démontrable avec des outils de seconde (en tous les cas c'est plus facile que Jensen ou l'inégalité de convexité de la fonction logarithme).

J'ai une solution niveau première
(a/b-b/c)²0 donc
a/b+b/c 2a/c
d'ou  a/b+b/c+c/a2a/c+c/a Supposons que ac et posons x=a/c
l'étude de la fonction f définie par f(x)=2x+1/x pour x1 montre que f(x)3

Mouais, l'étude des fonctions des des racines carrées en première, c'est pas tellement mieux que l'inégalité de la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique, mais bon si tu préfères.

tu as un profil marqué capes donc tu cherches quoi au juste ? si on te propose des solutions élémentaires niveau 1 ère ou 2 seconde ?

l' exercice m'a été proposé par un élève de seconde S raison pour laquelle je recherche une solution niveau seconde S pas une solution pour moi