Soit a,b et c trois nombres réels réels strictement positifs démontrer que a/b+b/c+c/a 3
Bonjour,
Tu peux démontrer ça à partir de l'inégalité de la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique qui dit que
Applique la formule avec x1=a/b x2=b/c et x3=c/a
ça donne et donc
Bon alors je vais te trouver une démonstration plus élémentaire.
Sans perte de généralité, on peut supposer que abc
a/b+b/c+c/a = (a²c+ab²+bc²)/abc, donc l'inégalité à démontrer peut s'écrire a²c+ab²+bc²3abc
on a a²b²c² et abacbc
donc a²cabc : ab²abc et bc²abc
Si on additionne les trois ça donne a²c+ab²+bc²3abc
Bon, et bien il faut se rabattre sur l'inégalité de la moyenne, c'est démontrable avec des outils de seconde (en tous les cas c'est plus facile que Jensen ou l'inégalité de convexité de la fonction logarithme).
J'ai une solution niveau première
(a/b-b/c)20 donc
a/b+b/c 2a/c
d'ou a/b+b/c+c/a2a/c+c/a Supposons que ac et posons x=a/c
l'étude de la fonction f définie par f(x)=2x+1/x pour x1 montre que f(x)3
Mouais, l'étude des fonctions des des racines carrées en première, c'est pas tellement mieux que l'inégalité de la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique, mais bon si tu préfères.
tu as un profil marqué capes donc tu cherches quoi au juste ? si on te propose des solutions élémentaires niveau 1 ère ou 2 seconde ?
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