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calcul de cos(2pi/5) à partir d'une équation de degré 4.
Bonjour, voila mon problème :
1) Résoudre z4+z3+z2+z+1=0.
z4+z3+z2+z+1 = (1-z5)/(1-z) avec z différent de 1. Et 1 ne résouds pas l'équation.
(1-z5)/(1-z)=0
1-z5=0
z5=1
Les solutions sont donc de la forme e2ik
/5; k variant de 0 a 4.
k = 0 : z0= e0=1 : faux z différent de 1.
k = 1 : z1= e(2i/5)
k = 2 : z2= e(4i/5)
k = 3 : z3= e(6i/5)
k = 4 : z4= e(8i/5)
2) En déduire la valeur de cos(2/5)
Et alors la c'est le néant total. J'essaie de poser x = qqchose avec ce quelque chose vérifiant l'équation du dessus, mais je n'ai pas réussi :/.
Merci d'avance.
=== Équations symétriques ===
Elles s'écrivent sous la forme
ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0
(il s'agit d'un cas particulier du cas précédent) et se résolvent par le changement de variable
z = x + 1/x
et la résolution de
az^2 + bz + c - 2a = 0.
J'ai trouvé ca sur wikipédia. C'est de cela dont tu parles? Je n'ai jamais rien fait de tel en cours.
Du coup ca donnerais après ma question 1, je pose :
x=z+1/z (1)
x²=z²+2+1/z² 
x²z²=z4+2z²+1 (2)
(1)*z²: xz²=z3+z (3)
(2)+(3): xz²+x²z² = z4+2z²+1+z3+z
z4+z3+(-x²-x+2)z²+z+1=0 avec du coup nécessairement -x²-x+2=1
soit x = (-1
5)/2
Et si je prend z=e(2i/5), j'ai x=cos(2/5)/2
d'ou cos(2/5)= (-1+5)/4
Cela semble un peu tomber du ciel non? J'explique comment mon x=z+1/z?
Merci en tout cas pour la méthode
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