Bonjour, a priori je ne sais pas mais sais-tu si le développement de Sarrus est valable pour les matrices carré d'ordre 4 ?

Dans ce cas ça va être facile...

Le déterminant que tu as calculé est bon


Jord

Ah non mince , c'est pas toi qui l'a montré _{faudrait que j'apprenne à lire correctement les énoncés moi !}

Bonjour.
Non, et en général la règle de Sarrus ne s'utilise pas lorsque l'on a des lettres et non des chiffres dans le déterminant de toute façon.

Ah, en tout cas, si je maitrise l'ordre 2 et 3 pour les ordres supérieurs je n'y ai pas encor songé, la formule générale est assez compliqué et le développement par rapport à une ligne ou une colone aussi :(

Allez, je vais me mettre au travail.

Si tu n'as pas d'autres informations sur ta matrice, la seule façon d'y arrive c'est de faire les calculs de toute manière (et eventuellement de faire des opérations élémentaires)
Bonne chance,
a+

Pour une matrice type

Bonjour,
voici une idée:
si a et b et c et d sont non nuls (il faudra ensuite envisager ces cas particuliers)

Soit D le déterminant à calculer

(1) a -b -c -d | * a
(2) b  a  d -c | * b
(3) c -d  a  b | * c
(4) d  c -b  a | * d
---------------------

Remplaçons la 1ère ligne (L1) par a*L1+b*L2+c*L3+d*l4
D est alors multiplié par a

D=D1/a

D1:
a^2+b^2+c^2+d^2 0       0      0 (1)+(2)+(3)+(4)
b               a       d      -c (2)
c              -d       a       b (3)
d               c      -b       a (4)    


D1=(a^2+b^2+c^2+d^2)* D2



Règle des mineurs
D2=              a     d  -c          (1')          *-c
                -d     a   b          (2')  *c  
                 c    -b   a          (3')  *d      * a  
-----------------------------------
                 a     d   -c
                 0   ac-bd  bc+ad              (2')*c+(3')*d
                 0  -ab-cd  a^2+c^2            (3')*a+(1')*(-c)

D2=a*D3/c/a=D3/c



avec D3= ac(a^2+b^2+c^2+d^2) [en développant (ac-bd)*(a^2+c^2)+(ab+cd)*(bc+ad) ]



On a donc
D=D1/a
=(a^2+b^2+c^2+d^2)*D2/a
=(a^2+b^2+c^2+d^2)*D3/c/a
=(a^2+b^2+c^2+d^2)*ac*(a^2+b^2+c^2+d^2)/c/a=
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

Salut,
je n'ai pas regardé encore le determinant mais je voulais dire qu'il n'y a pas de généralisation de Sarrus pour les matrices d'ordre 4 parcontre on peut tout a fait utiliser Sarrus lorsqu'on a des lettres et non des chiffres cela ne pose aucun problème.

Salut,
je n'ai pas dit que ca posait problème, mais ca met un sacré beau bordel dans les calculs, et en général on arrive à rien faire avec...
C'est pas avec une telle règle que je ferai un tel exercice.

En fait on peut généraliser Sarrus avec un ordre 4, si on développe par rapport à une certaine ligne ou une certaine colonne, mais c'est tirer par les cheveux

Bonjour,

la généralisation de la règle de Sarrus n'est autre que la règle des MINEURS dont l'énoncé a été donné par davidk !

Oui c'est le principe du développement par rapport à une ligne ou une colonne non?

Oui c'est le développement par les lignes et les colonnes mais cela n'est pas une généralisation de Sarrus.
bien sur moi nion plus je en ferai pas un tel exercice avec les mineurs ni en developpant par les lignes et les colonnes, mais ce que je voulais dire c'est que ce n'est pas parceque c'est des lettres que l'on ne peut pas appliquer Sarrus.

Juste une petite remarque ce déterminant peut se calculer grace aux quaternions sans faire de cas a=0, etc... a part, cependant si tu es en spé, je suppose que tu n'as pas vu ce qu'était les quaternions.

Bonjour,
je n'avais pas le courage de passer en latex.
C'est fait. Ce sera peut-être plus clair ?







Dès lors:

Titimarion, je suis intéressé par ta méthode en passant par les quaternions.
Je suppose que ton idée est celle ci:
la matrice est la représentation du quaternion
a+bi+cj+dk
et puisque H est un corps, si a²+b²+c²+d²>0 alors cette matrice est inversible, notamment sa norme est (a²+b²+c²+d²)
Il y'a quelque chose comme ca non?
Et comment on arrive à ce résultat au carré?
Amicalement,
otto

Mais je rêve ! C'était nettement plus simple. Il suffit de montrer que la matrice M/((a^2+b^2+c^2+d^2)) a pour déterminant 1. C'est une matrice orthogonale...

Qu'est ce que je rigole quand je vois tous vos calculs...

Mais ca passe pas trop par les quaternions là...

Re,
c'est vrai que je n'avais pas réfléchi que le plus simple était de voir que
ce qui implique
Sinon pour les quaternions il y a moyen en travaillant dans le corps des quaternions et entravaillant sur les lignes et les colonnes
car si
Alors
Ainsi on observe qu'il faut montrer que le déterminant vaut
En faisant C1-iC2-jC3-kC4 on obtient déjà une factorisation par et on peut facilement obtenir le déterminant d'une matrice 3,3.
Ca reste cependant très calculatoire
Sinon on peut voir que cette matrice est la matrice de l'application tel que
Et on doit pouvoir arriver au résultat
Mais le plus simple est quand même de voir que ce sont des matrices orthogonales.